FW: [obm-l] Geometria_Mais um!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: FW: [obm-l] Geometria_Mais um!

        Oi, Dirichlet:

        Estou supondo que o enunciado seja este:

> PROBLEMA:Considere um angulo de vertice  O e um ponto dentro dele A.Seja MN uma reta com M e N nos lados do angulo e OA bissetriz de <MAN. Mostre que quando M e N variam sobre os lados do angulo essas retas MN sao concorrentes(ou paralelas).
>
>  
> Vou usar o Axioma do Desespero: 
> "Quando tudo mais falhar, apele pra geometria analitica."
>
> Sejam os pontos O = (0,b), A = (0,0) e os lados do angulo, que tem como suporte as semi-retas y = b - mx e y = b + nx  (y < b), com b, m, n reais positivos.
>
> Seja p > 0.
> Considere as semi-retas retas y = px e y = -px (y > 0), ambas passando por A. 
> Sejam M e N as intersecoes destas retas com os lados do angulo.
> A bissetriz de MAN serah o eixo-y.
> Alem disso, M e N serao solucoes dos sistemas:
> y = px 
> y = b - mx  ==>  M = ( b/(m+p) , pb/(m+p) )
>
> y = -px
> y = b + nx  ==>  N = ( -b/(n+p) , pb/(n+p) ) 
>
> A reta MN tem coeficiente angular dado por:
> [pb/(m+p) - pb/(n+p)] / [ b/(m+p) + b/(n+p) ] =
> p*[1/(m+p) - 1/(n+p)] / [ 1/(m+p) + 1/(n+p) ] =
> p*(n-m)/(m+n+2p)
>
> Logo, a equacao de MN eh: 
> y - pb/(m+p) = [p*(n-m)/(m+n+2p)]*(x - b/(m+p))
>
>
> CASO 1: m <> n
> A intersecao da reta MN com o eixo x ocorre quando y = 0 ==>
> x = b/(m+p) - b*(m+n+2p)/[(n-m)*(m+p)] ==>
> x = [b/(m+p)]*[1 - (m+n+2p)/(n-m)] ==>
> x = [b/(m+p)]*[(-2m-2p)/(n-m)] ==>
> x = 2b/(m-n)
>
> Como a abscissa independe de p, concluimos que quando M e N variam sobre os lados dos angulos, a reta MN sempre passa pelo ponto ( 2b/(m-n) , 0 ). Se m > n, o ponto terah abscissa positiva. Caso contrario, a abscissa serah negativa.
>
>
> CASO 2: m = n
> Nesse caso, a equacao da reta MN reduz-se a:
> y = pb/(m+p)
>
> Ou seja, com m = n MN serah sempre paralela ao eixo-x. 
>  
>
> Um abraco,
> Claudio.