[obm-l] Re: [obm-l] Raiz e Indução Matemática

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Ariel,

Este é o exercício 42 do Manual de Indução.

Para n=1 a propriedade é válida mas para
n=2,3,...,9, não.

Transcrevo a solução do livro em pseudo TeX.

Seja $P(n)$ a proposição: se $n >= 10$, então
$2^n > n^3$. Temos:

n=10 = 1024 > 1000  (verdade).

Supomos agora que a proposição $P(n)$ é verdadeira
para $n=10,11,12,\ldots,k$. Devemos mostrar que $P(n)$
continua verdadeira para $n=k+1$, isto é, $2^{k+1} > (k+1)^3$.

2^{k+1} = 2*2^k > (1 + [1/10] )^3 2^k >=
(1 + [1/ k] )^3 2^k  (já que $k >= 10$).

Considerando que, por hipótese, $2^k > k^3$, temos:

2^{k+1} > (1 + [1 / k] )^3 k^3 = (k+1)^3.

Logo, $P(k+1)$ é verdadeira e concluímos que $P(n)$
é verdadeira para todo n >= 10.

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: "Ariel de Silvio" <ariel@watersportsbrazil.com>
Para: <garga@watersportsbrazil.com>
Cc: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sexta-feira, 9 de maio de 2003 13:20
Assunto: [obm-l] Raiz e Indução Matemática


> Olá,
> fazendo exercicios do livro Noções de Matemática V.2 (Aref / Nilton Lapa /
José Sampaio / Sidney Cavallantte) fiquei em duvida em alguns exercicios...
Não sei se foi apenas falta de atenção ou algo que eu não tenha entendido
mesmo....
>
> Vamos lá
>
> 4) Estude a validade da desigualdade:
> n^3 < 2^n
> R: n>9 : A propriedade é valida
>
> OBS: Porem nao tenho a minima ideia de como chegar nisso, achei q tinha
entendido, mas acho q nao entendi nada mesmo...
>
> O QUE FIZ:
> Teorema 1
> n=1 : 2^1> 1^3 => verdadeiro
>
> Teorema 2
> HIPOTESE:  2^k > k^3
> TESE:
> 2^k+1 > (k+1)^3
> 2^k+1 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1
> A partir daí acho que viajei em tudo....
>
> Bom, quem puder me ajudar... agradeco...
> []s
> Ariel de Silvio
>


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