[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Nov 22, 2002 at 03:03:37PM -0200, Luis Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
> 
> Obrigado, Nicolau.
> 
> Vou olhar pela n-ésima vez o livro do Knuth
> e outros.
> 
> Vendo sua demonstração lembrei-me de
> duas folhas que xeroquei do livro
> A Classical Introduction to Modern Number
> Theory by K. Ireland and M. Rosen,
> Springer-Verlag, 1990.
> As folhas reproduzem as páginas 228-231
> do capítulo 15 Bernoulli Numbers.
> Lá vemos a definição e aplicações dos números
> de Ber. A mais elementar é o cálculo das
> somas 1^m + ... + (n-1)^m.

Soma esta que por acaso está sendo discutida agora mesmo nesta lista...

> Preciso agora entender a passagem
> 
> > t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)
> >
> > cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)

Lembre-se que

coth t = (e^t + e^(-t))/(e^t - e^(-t))

i coth it = cot t = i * (e^(it) + e^(-it))/(e^(it) - e^(-it))

Troque t por it na primeira fórmula...
 
> No momento faço duas correções de teclado (typos):
> 
> > t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
> >                   = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
> >                   = t/2 * coth(t/2)
> 
> A 2a. linha deveria ser
> 
> >                   = t/2 * (e^(t/2) + e^(-t/2))/(e^(t/2) - e^(-t/2))
> 
> > é ímpar
> Leia-se é par.

Você tem razão nos dois casos, obrigado pela correção e pela leitura atenta.

[]s, N.
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