[obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Nov 21, 2002 at 06:39:35PM -0200, Luis Lopes wrote:
> > mas você deve encontrar isso em bons (realmente bons) > livros de cálculo.
> É possível, mas nunca vi. Também é verdade que
> nunca os consultei tendo este problema em mente.
> De qualquer jeito...
> 
> > Ou você pode tentar deduzir sozinho, não é tão difícil
> > assim, especialmente sabendo a resposta.
> .... é isso que procuro. Em praticamente todos os
> livros de cálculo encontramos as mesmas séries:
> ln(1+x), Arctan x, e^x, cosh x, sinh x, cos x, sin x (ver
> Adams, Robert, Single-Variable Calculus).

Encontrei no livro Concrete Mathematics, de Graham, Knuth, Patashnik,
uma seção sobre números de Bernoulli que deve te interessar.
Vou isolar um esboço da demonstração que você quer. Por definição,

t/(e^t - 1) = sum_k B_k/k! t^k

mas

t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
                  = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
                  = t/2 * coth(t/2)

é ímpar donde

(t/2) * coth(t/2) = sum_k B_(2k)/(2k)! t^(2k)
 
t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)

cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)

mas

tan t = cot t - 2 cot 2t

      = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! ( t^(2k-1) - 2 (2t)^(2k-1) )

      = sum_{k > 0} (-1)^k 2^(2k) (1 - 2^(2k)) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)

[]s, N.


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