[obm-l] Re: [obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Obrigado, Nicolau.

Vou olhar pela n-ésima vez o livro do Knuth
e outros.

Vendo sua demonstração lembrei-me de
duas folhas que xeroquei do livro
A Classical Introduction to Modern Number
Theory by K. Ireland and M. Rosen,
Springer-Verlag, 1990.
As folhas reproduzem as páginas 228-231
do capítulo 15 Bernoulli Numbers.
Lá vemos a definição e aplicações dos números
de Ber. A mais elementar é o cálculo das
somas 1^m + ... + (n-1)^m.

Preciso agora entender a passagem

> t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)
>
> cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)

Vou pensar a respeito.

No momento faço duas correções de teclado (typos):

> t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
>                   = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
>                   = t/2 * coth(t/2)

A 2a. linha deveria ser

>                   = t/2 * (e^(t/2) + e^(-t/2))/(e^(t/2) - e^(-t/2))

> é ímpar
Leia-se é par.

[]'s
Luís


-----Mensagem Original-----
De: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sexta-feira, 22 de novembro de 2002 09:44
Assunto: [obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]


> On Thu, Nov 21, 2002 at 06:39:35PM -0200, Luis Lopes wrote:
> > > mas você deve encontrar isso em bons (realmente bons) > livros de
cálculo.
> > É possível, mas nunca vi. Também é verdade que
> > nunca os consultei tendo este problema em mente.
> > De qualquer jeito...
> >
> > > Ou você pode tentar deduzir sozinho, não é tão difícil
> > > assim, especialmente sabendo a resposta.
> > .... é isso que procuro. Em praticamente todos os
> > livros de cálculo encontramos as mesmas séries:
> > ln(1+x), Arctan x, e^x, cosh x, sinh x, cos x, sin x (ver
> > Adams, Robert, Single-Variable Calculus).
>
> Encontrei no livro Concrete Mathematics, de Graham, Knuth, Patashnik,
> uma seção sobre números de Bernoulli que deve te interessar.
> Vou isolar um esboço da demonstração que você quer. Por definição,
>
> t/(e^t - 1) = sum_k B_k/k! t^k
>
> mas
>
> t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
>                   = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
>                   = t/2 * coth(t/2)
>
> é ímpar donde
>
> (t/2) * coth(t/2) = sum_k B_(2k)/(2k)! t^(2k)
>
> t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)
>
> cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
>
> mas
>
> tan t = cot t - 2 cot 2t
>
>       = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! ( t^(2k-1) - 2
(2t)^(2k-1) )
>
>       = sum_{k > 0} (-1)^k 2^(2k) (1 - 2^(2k)) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
>
> []s, N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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