Re: [obm-l] PAs de ordens>1

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Nov 22, 2002 at 02:02:48AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
> 
>    Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de
>    somatório de x^2, para x=1,2,..,n? 

O somatório

1^n + 2^n + ... + k^n

onde pensamos em n como um parâmetro fixo mas arbitrário e em k como a variável
é dado por um polinômio de grau (n+1) na variável k:

1^n + 2^n + ... + k^n = a_{n,n+1} k^(n+1) + a_{n,n} k^n + ... + a_{n,0}

Estes coeficientes a_{i,j} são números racionais e você pode sem dificuldade
deduzir várias propriedades deles mas de fato estes são (a menos alterações
mínimas) os polinômios de Bernoulli de que falava há poucos dias atrás;
repetindo...

Os polinômios de Bernoulli podem ser definidos por

te^(xt)/(e^t - 1) = sum_k B_k(x)/k! t^k

e satisfazem

B_n(0) = B_n

B_n(x+1) - B_n(x) = n x^(n-1)

(B_(n+1)(k+1) - B_(n+1)(0))/(n+1) = 1^n + 2^n + ... + k^n

A seção sobre números de Bernoulli do Concrete Mathematics usa exatamente
este problema para motivar o estudo de números de Bernoulli.

[]s, N.
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