Re: [obm-l] PAs de ordens>1

[Marcelo Leitner <mrl@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Nov 22, 2002 at 02:02:48AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
>    Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de somatório de x^2, para x=1,2,..,n? 
> 
>    Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de 2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA "normal"(de 1a ordem)? Naturalmente temos a[1], R e b[1].
> 
>    Generalizando ainda mais, sejam a{1}[1], a{2}[1],..,a{k}[1] respectivamente os primeiros termos de PAs de 1a, 2a,..,k-ésima ordem e R a razão da PA de primeira ordem. Em função desses parâmetros, qual a soma dos n primeiros termos da PA de k-ésima ordem?
> 
> []'s
> 
> Alexandre Tessarollo
---end quoted text---

Bom, eu infelismente posso ajudar apenas na primeira parte, nao tenho
muitos conhcimentos sobre PA's de ordem > 1. Jah vi que jah te ajudaram,
mas achei o metodo que utilizaram p/ resolver a primeira parte mais
complicado do que o necessario, entao resolvi te mandar essa parte em
particular.
Eh assim, adotando Z(1,n) como o simbolo de somatorio de 1 a n, temos:
Z(1,n) k^2 = [Z(1,n) k^2 + k - k)] = [Z(1,n) k^2 + k] - Z(1,n) k
Temos agora 2 termos, o 2. podemos calcular como uma soma de PA de 1. ordem,
de razao 1 e com n termos, com primeiro elemento = 1 e ultimo = n:
Z(1,n) k = (1 + n)*(n/2)
e Z(1,n) [k^2 + k] resolve-se por combinacao:
Z(1,n) [k(k+1)] = Z(1,n) [(k+1)!/(k-1)!] = Z(1,n) [(2!(k+1)!)/(2!(k-1)!)]
e logo, 2! * Z(1,n) C(k+1,2), onde C(k+1,2) eh a combinacao de k+1 elementos
agrupados 2 a 2. Temos a soma de uma coluna entao, lah no triangulo de pascal.
Existe um teorema, soh nao lembro o nome :), mas a soma da coluna eh dada
pelo elemento na diagonal direita abaixo do ultimo termo, assim:
1
1 1.
1 2. 1
1 3  3. 1
1 4  6  4  1
1 5  10 10 5 1
somando a 2. coluna, como no nosso caso, e fazendo k=2 (no ex. apenas),
temos 1+2 = 3 (os numeros com os . do lado sao os que foram utilizados)
Entao temos:
Z(1,n) k^2  =  2! Z(1,n) C(k+1, 2) - n(1+n)/2
Z(1,n) k^2  =  2*C(n+2, 3) - n(1+n)/2
Testando p/ n = 1, 2C(3, 3) - 1(1+1)/2 = 2*1 - 1 = 1 = 1^2
Testando p/ n = 2, 2C(4, 3) - 2(1+2)/2 = 2*4 - 2*3/2 = 8 - 3 = 5 = 1^2 + 2^2
n = 3, 2C(5, 3) - 3(1+3)/2 = 2*10 - 3*2 = 20 - 6 = 14 = 1^2 + 2^2 + 3^2

Resumindo, eh soh somar (+k-k) ao somatorio e fazer aparecer a combinacao.
Com Z(1,n) k^3 eh a mesma coisa, mas aih voce soma (+3k^2-3k^2) se eu nao me
engano.. nao me recordo muito bem, mas era algo +- assim tb, de forma que
voce possa usar o Z(1,n)k^2 como base e tambem fazer aparecer combinacao.
Espero ter ajudado um pouco..
[]'s
-- 
Marcelo R Leitner <mrl@netbank.com.br>
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