Re: [obm-l] Mais um membro pra lista

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> se existe, só pode ser um:
> p1 + p2 + ... + pn < n.pn (pois pn > p[n-1] > ... > p1)
> se pk > pn é tal que pk | p1 + ... + pn, existe q inteiro tal que
> pk.q = p1 + ... + pn
> q = (p1 + ... + pn)/pk < n.(pn/pk) < n < pn
> e n < pn, logo não há nenhum outro primo maior que pn que divide n...
>
> eu vou pensar mais a respeito de como consertar o número, aliás, consertar
a
> seqüência, certo?
> no fundo eu já me desliguei um pouco do problema original e estou partindo
> para a demonstração da conjectura que é mais forte do que o pedido pelo
> problema.
> na prática eu sei que as seqüências não pulam muito no último elemento, ou
> seja
> se p1, p2, ..., pn, p[n+k] são fatores de um número ensolarado eu pude
> verificar que k em geral é bem pequeno e nos meus testes nunca passou de
17
> (inclusive para seqüências de 10.000 primos).
>
> Muito obrigado pela ajuda, Eduardo.


putz! agora caiu a ficha...
eu tinha feito essa observação ao testar modificações do algoritmo que eu
tinha feito... mas só agora eu me liguei...

dado um n > 3 e p1, ..., pn a seq. dos n primeiros primos
1) a soma deles é fatorável neles mesmo, neste caso:
p1 + p2 + ... + pn = p1^r1.p2^r2...pn^rn
com ri >= 0
basta pegar qquer número da forma
a = p1^s1.p2^s2...pn^sn com si >= ri, si > 0
que este será ensolarado

2) existe um primo pk, pk > pn que divide a soma
este pk é único como eu provei na mensagem anterior (acima)

pk.q = p1 + ... + pn
q < pn
logo q + 1 <= pn
pk(q + 1) = p1 + ... + pn + pk
e (q + 1) é fatorado em primos todos menores ou iguais a pn, logo
p1 + ... + pn + pk = p1^r1.p2^r2...pn^rn.pk^rk
e com argumento análogo a (1) encontramos um ensolarado facilmente.

Valeu, Eduardo!


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