Re: [obm-l] Mais um membro pra lista

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Domingos e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Bem-vindo a Lista OBM-L !

Nao sei se entendi corretamente, todavia, SE EU ENTENDI BEM A SUA 
CONJECTURA, entao ela e uma SUPOSICAO CORRETA e consequencia imediata de 
fatos bem conhecidos, a saber :

Se P1, P2, ..., Pn e a sequencia natural dos Primos e PI(N) e o total de 
primos ate N entao Pn > Pi sempre que n > i. Segue que

P1 + P2 + ... + Pn < PI(Pn)*Pn e como PI(Pn) < Pn vem que :
P1 + P2 + ... + Pn < (Pn)^2

Ou seja, a soma dos primos ate Pn, se composta, sempre podera ser fatorada 
pelos primos ate Pn

Isto mostra, tambem, que para decompor um numero ate (Pn)^2 nao precisamos 
de nenhum outro fator primo maior que Pn. Uma outra maneira de enunciar isto 
e dizendo que se desejamos descobrir todos os primos ate N ( pelo crivo de 
Eratostenes, por exemplo ) basta considerar os numeros primos ate 
RAIZ_QUADRADA(N), ou, o que da no mesmo, todo numero composto ate N tem um 
fator primo <= RAIZ_QUADRADA(N).

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1956,011002

>From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Mais um membro pra lista
>Date: Tue, 1 Oct 2002 16:32:03 -0300
>
>Olá, meu nome é Domingos, faço Ciências da Computação no IME.USP e pretendo
>ser mais um membro dessa prestigiada lista!
>
>Eu gostaria de ver se alguém pode me ajudar com uma questão...
>
>Essa é da olimpíada do Cone Sul:
>
>----------------------------------------
>Dizemos que um inteiro n, n > 1, é ensolarado se ele é divisível pela soma
>dos seus fatores primos. Por exemplo, 90 é ensolarado pois 90 = 2·3^2·5 e 2
>+ 3 + 5 = 10 divide 90.
>Mostre que existe um número ensolarado com pelo menos 10^2002 fatores 
>primos
>distintos.
>----------------------------------------
>
>A minha idéia é que é possível ir além do que o enunciado pede e verificar
>que existem números ensolarados com qualquer número de fatores primos maior
>do que 3!
>
>Pra começar:
>Seja a = p1^r1.p2^r2...pn^rn (ri >= 1 pra 1 <= i <= n), uma fatoração de a
>em primos
>se p1 + p2 + ... + pn divide a, temos que p1 + ... + pn deve ter uma
>fatoração em primos p1, ... pn, pois se existe um primo que divide a soma
>mas não divide a, temos que a soma não divide a.
>
>logo:
>p1 + p2 + .... + pn = p1^s1.p2^s2....pn^sn (si >= 0 pra 1 <= i <= n)
>
>a partir daí uma interessante conjectura surgiu (a qual eu quero provar):
>
>[conjectura] Para todo inteiro n >= 3 temos uma seqüência de primos
>ordenados tais que os (n - 1) primeiros termos desta são os (n - 1)
>primeiros primos {2, 3, 5, 7, ...} é sempre possível escolher um primo 
>maior
>que todos os anteriores tais que a soma dos termos da seqüência possa ser
>fatorada em primos da seqüência.
>
>exemplos
>2 + 3 + 5 = 10 = 2.5
>2 + 3 + 5 + 17 = 27 = 3.3.3
>2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 = 2.2.7
>...
>
>Eu fiz um pequeno programa para testar essa conjectura e ela foi verificada
>para seqüências de até alguns milhares de primos, o que me dá uma boa
>impressão a respeito dela.
>
>O código fonte em C (na verdade C++) está disponível em:
>http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/primes-conjecture.cpp
>
>Alguém tem alguma idéia de como demonstrar a conjectura?
>
>[ ]'s
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