Esse nao e dificil.Mas o problema original era do Edmilson Motta.A soluçao esta no fim desse e-mail.
"Domingos Jr."
> Caro Domingos Jr.,
>
> essa é a idéia que resolve a questão, você está quase lá. Vou dar uma dica
e
> aí você tenta completar.
>
> Escolhe-se p_1^a_1 .p_2^a_2 .... p_n^a_n com cada si suficientemente
> grande.
> A soma dos fatores primos p_1 + p_2 + p_3 + ... + p_n das duas uma:
> 1) é um produto de fatores primos a_i com i <= n
neste caso nada precisa ser feito!
> 2) existe algum fator primo p_k com k > n. Se existir, quantos são eles ?
Dá
> para "consertar" o número inicial mudando ele um pouquinho ?
se existe, só pode ser um:
p1 + p2 + ... + pn < n.pn (pois pn > p[n-1] > ... > p1)
se pk > pn é tal que pk | p1 + ... + pn, existe q inteiro tal que
pk.q = p1 + ... + pn
q = (p1 + ... + pn)/pk < n.(pn/pk) < n < pn
e n < pn, logo não há nenhum outro primo maior que pn que divide n...
eu vou pensar mais a respeito de como consertar o número, aliás, consertar a
seqüência, certo?
no fundo eu já me desliguei um pouco do problema original e estou partindo
para a demonstração da conjectura que é mais forte do que o pedido pelo
problema.
na prática eu sei que as seqüências não pulam muito no último elemento, ou
seja
se p1, p2, ..., pn, p[n+k] são fatores de um número ensolarado eu pude
verificar que k em geral é bem pequeno e nos meus testes nunca passou de 17
(inclusive para seqüências de 10.000 primos).
Muito obrigado pela ajuda, Eduardo.
Bem,Seja p_k o k° primo.Seja a soma E=p_1+p_2+...+p_k.
i)ELA SO TEM OS PRIMOS DE p_1 A p_k.
Entao E divide p_1*p_2*...*p_k*E,logo E e ensolarado.
ii)ALERTA DE INTRUSO!!!!!!!!!Algum primo P aparece na soma E alem dos p_i.Se esse for o caso,o desdito e unico(verifique!).
Se E'=E+P,veja que p_1*p_2*...*p_k*E' sera ensolarado.E fim!