Re: [obm-l] Mais um membro pra lista

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Domingos Jr.,

essa é a idéia que resolve a questão, você está quase lá. Vou dar uma dica e
aí você tenta completar.

Escolhe-se p_1^a_1  .p_2^a_2 .... p_n^a_n com cada si suficientemente
grande.
A soma dos fatores primos p_1 + p_2 + p_3 + ... + p_n das duas uma:
1) é um produto de fatores primos a_i com i <= n
2) existe algum fator primo p_k com k > n. Se existir, quantos são eles ? Dá
para "consertar" o número inicial mudando ele um pouquinho ?

Eduardo.


From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>

Olá, meu nome é Domingos, faço Ciências da Computação no IME.USP e pretendo
ser mais um membro dessa prestigiada lista!

Eu gostaria de ver se alguém pode me ajudar com uma questão...

Essa é da olimpíada do Cone Sul:

----------------------------------------
Dizemos que um inteiro n, n > 1, é ensolarado se ele é divisível pela soma
dos seus fatores primos. Por exemplo, 90 é ensolarado pois 90 = 2·3^2·5 e 2
+ 3 + 5 = 10 divide 90.
Mostre que existe um número ensolarado com pelo menos 10^2002 fatores primos
distintos.
----------------------------------------

A minha idéia é que é possível ir além do que o enunciado pede e verificar
que existem números ensolarados com qualquer número de fatores primos maior
do que 3!

Pra começar:
Seja a = p1^r1.p2^r2...pn^rn (ri >= 1 pra 1 <= i <= n), uma fatoração de a
em primos
se p1 + p2 + ... + pn divide a, temos que p1 + ... + pn deve ter uma
fatoração em primos p1, ... pn, pois se existe um primo que divide a soma
mas não divide a, temos que a soma não divide a.

logo:
p1 + p2 + .... + pn = p1^s1.p2^s2....pn^sn (si >= 0 pra 1 <= i <= n)

a partir daí uma interessante conjectura surgiu (a qual eu quero provar):

[conjectura] Para todo inteiro n >= 3 temos uma seqüência de primos
ordenados tais que os (n - 1) primeiros termos desta são os (n - 1)
primeiros primos {2, 3, 5, 7, ...} é sempre possível escolher um primo maior
que todos os anteriores tais que a soma dos termos da seqüência possa ser
fatorada em primos da seqüência.

exemplos
2 + 3 + 5 = 10 = 2.5
2 + 3 + 5 + 17 = 27 = 3.3.3
2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 = 2.2.7
...

Eu fiz um pequeno programa para testar essa conjectura e ela foi verificada
para seqüências de até alguns milhares de primos, o que me dá uma boa
impressão a respeito dela.

O código fonte em C (na verdade C++) está disponível em:
http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/primes-conjecture.cpp

Alguém tem alguma idéia de como demonstrar a conjectura?

[ ]'s

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