Re: Problema de Geometria

["Eduardo Wagner" <wagner@xxxxxxx>]

Caro Marcos:
Voce pode enviar novamente o enunciado desse problema?
Obrigado.
[]W.

----------
>From: "Marcos Eike" <eikemed@ig.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Problema de Geometria
>Date: Thu, Apr 19, 2001, 18:44
>

> Ficarei grato em conversar com vc.
> Ats,
> Marcos Eike
> -----Mensagem Original-----
> De: Edson Ricardo de Andrade Silva <latino@lia.ufc.br>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 14:43
> Assunto: Re: Problema de Geometria
>
>
>>
>> Antes de mais nada, vamos a uma breve apresentacao. Sou
>> participante desta lista ha uns meses e nao tenho tido muito tempo para
>> debater com vcs aqui da lista pois estou condenado a terminar de escrever
>> minha tese de mestrado aqui na UFC (Na Area de Computacao Grafica,
>> precisamente na area de Modelagem Digital de Terrenos) e o tempo me
>> falta... no entanto, acompanho ativamente essa lista como ouvinte.
>> Bem, esse problema de geometria me eh particularmente
>> interessante. Lembro-me que no tempo do 2 grau, quando eu participava das
>> Olimpiadas de Matematica, havia me deparado com esse problema. O ataquei
>> com todas as ferramentas que eu dispunha na epoca (geom. plana,
>> analitica,transformacoes geometricas...) e nao consegui resolve-lo. Talvez
>> a minha decepcao maior foi nao ter encontrado uma solucao atraves de
>> geometria plana simples...
>> Hoje, porem, quase que num reflexo (apesar de eu estar um pouco
>> enferrujado em resolver problemas de olimpiadas), encontrei uma solucao
>> bem simples para o problema. Ai vai:
>>
>>
>> - Considere um novo triangulo B'C'D' como a rotacao de 90 graus do
>> triangulo BCD em torno de D e no sentido horario (considerando o pentagono
>> ABCDE descrito non sentido anti-horario). Tal rotacao faz o lado C'D'
>> coincidir com o lado ED, pois o angulo CDE eh reto e C'D' = CD = ED. Alem
>> disso, BD = B'D' e o angulo BDB' eh reto.(***)
>>
>> - Nao eh dificil observar que o quadrilatero ABEB' eh um
>> paralelogramo:
>> Observe que EB'= BC = BA. Entao falta provar que EB'// BA. Chame o
>> angulo BCD = B'ED = x. Chame a intersecao do prolongamento de EB' com BC
>> (ou com o possivel prolongamento de BC) de G. O quadrilatero GCDE eh
>> inscritivel, pois B'ED = GCD = x. Como EDC eh reto, temos que ter o angulo
>> EGC tambem reto. Logo, os lados EB' e BA sao paralelos, pois fazem os
>> mesmo angulos (retos) com BC.
>>
>> - Agora eh simples. As diagonais B'B e AE do paralelogramo ABEB' se
>> cruzam, obviamente, em M, com BM = MB'. Acontece que, como vimos
>> anteriormente, o triangulo BDB' eh retangulo em D e isosceles (***), logo
>> a altura relativa ao vertice D, ou seja DM, eh igual a metade da
>> hipotenusa BB', ou seja BM. E obviamente o angulo DMB eh reto, pois DM
>> eh altura.
>> CQD.
>>
>>
>> Eh isso ai gente, espero poder ter ajudado.
>>
>> PS : Se algum participante da lista tiver interesse na area de Computacao
>> Grafica, precisamente nas areas de Geometria Computacional, Modelagem
>> Digital de Terrenos, Visualizacao 3D e quiser manter contato, sinta-se
>> livre! :)
>>
>> Abracos,
>> Edson Ricardo
>>
>>
>>  On Fri, 13 Apr 2001, Marcio A. A. Cohen wrote:
>>
>> > Como se falou um pouco de complexos aqui, segue abaixo um problema
>> > interessante de geometria. Interessante no sentido de ser um problema
>> > conhecido, que eu acho bem dificil de se resolver por geometria plana
>> > simples, e bem facil de se resolver com auxilio de numeros complexos (e
> o
>> > melhor, eh desses que com geometria analitica convencional continuam
>> > dificeis!):
>> >
>> > Eh dado um pentagono convexo ABCDE. Sabe-se que AB=BC,  CD=DE, e os
> angulos
>> > internos B e D do pentagono sao de 90 graus. Seja M o ponto medio do
> lado
>> > AE. Demonstre que os segmentos DM e BM sao iguais, e que o triangulo DBM
> eh
>> > retangulo.
>> >
>> > Abracos,
>> > Marcio
>> >
>> > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o
> meu
>> > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por
> complexos,
>> > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por
>> >
>> > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o
> meu
>> > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por
> complexos,
>> > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por
>> > cis^(90) = i, e desenhar o pentagono no plano.. o resto sao soh poucas
>> > linhas de conta.
>> >
>> >
>>
>>
>