RES: Problema de Geometria

["Marcio A. A. Cohen" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Oi Eduardo, nao sou o Marcos, mas como eu q mandei esse problema ha alguns
dias e nao sei se ele ainda o tem, estou copiando abaixo a mensagem original
sobre o problema:

"	Como se falou um pouco de complexos aqui, segue abaixo um problema
interessante de geometria. Interessante no sentido de ser um problema
conhecido, que eu acho bem dificil de se resolver por geometria plana
simples, e bem facil de se resolver com auxilio de numeros complexos (e o
melhor, eh desses que com geometria analitica convencional continuam
dificeis!):

	Eh dado um pentagono convexo ABCDE. Sabe-se que AB=BC,  CD=DE, e os angulos
internos B e D do pentagono sao de 90 graus. Seja M o ponto medio do lado
AE. Demonstre que os segmentos DM e BM sao iguais, e que o triangulo DBM eh
retangulo.

	Abracos,
	Marcio

PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu
"dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos,
eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por
cis^(90) = i, e desenhar o pentagono no plano.. o resto sao soh poucas
linhas de conta."



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Eduardo Wagner
Enviada em: domingo, 22 de abril de 2001 01:09
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: Problema de Geometria


Caro Marcos:
Voce pode enviar novamente o enunciado desse problema?
Obrigado.
[]W.

----------
>From: "Marcos Eike" <eikemed@ig.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Problema de Geometria
>Date: Thu, Apr 19, 2001, 18:44
>

> Ficarei grato em conversar com vc.
> Ats,
> Marcos Eike
> -----Mensagem Original-----
> De: Edson Ricardo de Andrade Silva <latino@lia.ufc.br>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 14:43
> Assunto: Re: Problema de Geometria
>
>
>>
>> Antes de mais nada, vamos a uma breve apresentacao. Sou
>> participante desta lista ha uns meses e nao tenho tido muito tempo para
>> debater com vcs aqui da lista pois estou condenado a terminar de escrever
>> minha tese de mestrado aqui na UFC (Na Area de Computacao Grafica,
>> precisamente na area de Modelagem Digital de Terrenos) e o tempo me
>> falta... no entanto, acompanho ativamente essa lista como ouvinte.
>> Bem, esse problema de geometria me eh particularmente
>> interessante. Lembro-me que no tempo do 2 grau, quando eu participava das
>> Olimpiadas de Matematica, havia me deparado com esse problema. O ataquei
>> com todas as ferramentas que eu dispunha na epoca (geom. plana,
>> analitica,transformacoes geometricas...) e nao consegui resolve-lo.
Talvez
>> a minha decepcao maior foi nao ter encontrado uma solucao atraves de
>> geometria plana simples...
>> Hoje, porem, quase que num reflexo (apesar de eu estar um pouco
>> enferrujado em resolver problemas de olimpiadas), encontrei uma solucao
>> bem simples para o problema. Ai vai:
>>
>>
>> - Considere um novo triangulo B'C'D' como a rotacao de 90 graus do
>> triangulo BCD em torno de D e no sentido horario (considerando o
pentagono
>> ABCDE descrito non sentido anti-horario). Tal rotacao faz o lado C'D'
>> coincidir com o lado ED, pois o angulo CDE eh reto e C'D' = CD = ED. Alem
>> disso, BD = B'D' e o angulo BDB' eh reto.(***)
>>
>> - Nao eh dificil observar que o quadrilatero ABEB' eh um
>> paralelogramo:
>> Observe que EB'= BC = BA. Entao falta provar que EB'// BA. Chame o
>> angulo BCD = B'ED = x. Chame a intersecao do prolongamento de EB' com BC
>> (ou com o possivel prolongamento de BC) de G. O quadrilatero GCDE eh
>> inscritivel, pois B'ED = GCD = x. Como EDC eh reto, temos que ter o
angulo
>> EGC tambem reto. Logo, os lados EB' e BA sao paralelos, pois fazem os
>> mesmo angulos (retos) com BC.
>>
>> - Agora eh simples. As diagonais B'B e AE do paralelogramo ABEB' se
>> cruzam, obviamente, em M, com BM = MB'. Acontece que, como vimos
>> anteriormente, o triangulo BDB' eh retangulo em D e isosceles (***), logo
>> a altura relativa ao vertice D, ou seja DM, eh igual a metade da
>> hipotenusa BB', ou seja BM. E obviamente o angulo DMB eh reto, pois DM
>> eh altura.
>> CQD.
>>
>>
>> Eh isso ai gente, espero poder ter ajudado.
>>
>> PS : Se algum participante da lista tiver interesse na area de Computacao
>> Grafica, precisamente nas areas de Geometria Computacional, Modelagem
>> Digital de Terrenos, Visualizacao 3D e quiser manter contato, sinta-se
>> livre! :)
>>
>> Abracos,
>> Edson Ricardo
>>
>>
>>  On Fri, 13 Apr 2001, Marcio A. A. Cohen wrote:
>>
>> > Como se falou um pouco de complexos aqui, segue abaixo um problema
>> > interessante de geometria. Interessante no sentido de ser um problema
>> > conhecido, que eu acho bem dificil de se resolver por geometria plana
>> > simples, e bem facil de se resolver com auxilio de numeros complexos (e
> o
>> > melhor, eh desses que com geometria analitica convencional continuam
>> > dificeis!):
>> >
>> > Eh dado um pentagono convexo ABCDE. Sabe-se que AB=BC,  CD=DE, e os
> angulos
>> > internos B e D do pentagono sao de 90 graus. Seja M o ponto medio do
> lado
>> > AE. Demonstre que os segmentos DM e BM sao iguais, e que o triangulo
DBM
> eh
>> > retangulo.
>> >
>> > Abracos,
>> > Marcio
>> >
>> > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar
o
> meu
>> > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por
> complexos,
>> > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por
>> >
>> > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar
o
> meu
>> > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por
> complexos,
>> > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por
>> > cis^(90) = i, e desenhar o pentagono no plano.. o resto sao soh poucas
>> > linhas de conta.
>> >
>> >
>>
>>
>