Re: Problema de Geometria

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

Como admirador e estudioso da geometria, só tenho a elogiar sua prova. Realmente
bonita. Meus sinceros parabéns!

[]'s

Alexandre Tessarollo

Edson Ricardo de Andrade Silva wrote:

>         Antes de mais nada, vamos a uma breve apresentacao. Sou
> participante desta lista ha uns meses e nao tenho tido muito tempo para
> debater com vcs aqui da lista pois estou condenado a terminar de escrever
> minha tese de mestrado aqui na UFC (Na Area de Computacao Grafica,
> precisamente na area de Modelagem Digital de Terrenos) e o tempo me
> falta... no entanto, acompanho ativamente essa lista como ouvinte.
>         Bem, esse problema de geometria me eh particularmente
> interessante. Lembro-me que no tempo do 2 grau, quando eu participava das
> Olimpiadas de Matematica, havia me deparado com esse problema. O ataquei
> com todas as ferramentas que eu dispunha na epoca (geom. plana,
> analitica,transformacoes geometricas...) e nao consegui resolve-lo. Talvez
> a minha decepcao maior foi nao ter encontrado uma solucao atraves de
> geometria plana simples...
>         Hoje, porem, quase que num reflexo (apesar de eu estar um pouco
> enferrujado em resolver problemas de olimpiadas), encontrei uma solucao
> bem simples para o problema. Ai vai:
>
> - Considere um novo triangulo B'C'D' como a rotacao de 90 graus do
> triangulo BCD em torno de D e no sentido horario (considerando o pentagono
> ABCDE descrito non sentido anti-horario). Tal rotacao faz o lado C'D'
> coincidir com o lado ED, pois o angulo CDE eh reto e C'D' = CD = ED. Alem
> disso, BD = B'D' e o angulo BDB' eh reto.(***)
>
> - Nao eh dificil observar que o quadrilatero ABEB' eh um
> paralelogramo:
>         Observe que EB'= BC = BA. Entao falta provar que EB'// BA. Chame o
> angulo BCD = B'ED = x. Chame a intersecao do prolongamento de EB' com BC
> (ou com o possivel prolongamento de BC) de G. O quadrilatero GCDE eh
> inscritivel, pois B'ED = GCD = x. Como EDC eh reto, temos que ter o angulo
> EGC tambem reto. Logo, os lados EB' e BA sao paralelos, pois fazem os
> mesmo angulos (retos) com BC.
>
> - Agora eh simples. As diagonais B'B e AE do paralelogramo ABEB' se
> cruzam, obviamente, em M, com BM = MB'. Acontece que, como vimos
> anteriormente, o triangulo BDB' eh retangulo em D e isosceles (***), logo
> a altura relativa ao vertice D, ou seja DM, eh igual a metade da
> hipotenusa BB', ou seja BM. E obviamente o angulo DMB eh reto, pois DM
> eh altura.
> CQD.
>
> Eh isso ai gente, espero poder ter ajudado.
>
> PS : Se algum participante da lista tiver interesse na area de Computacao
> Grafica, precisamente nas areas de Geometria Computacional, Modelagem
> Digital de Terrenos, Visualizacao 3D e quiser manter contato, sinta-se
> livre! :)
>
> Abracos,
>                 Edson Ricardo
>
>  On Fri, 13 Apr 2001, Marcio A. A. Cohen wrote:
>
> >       Como se falou um pouco de complexos aqui, segue abaixo um problema
> > interessante de geometria. Interessante no sentido de ser um problema
> > conhecido, que eu acho bem dificil de se resolver por geometria plana
> > simples, e bem facil de se resolver com auxilio de numeros complexos (e o
> > melhor, eh desses que com geometria analitica convencional continuam
> > dificeis!):
> >
> >       Eh dado um pentagono convexo ABCDE. Sabe-se que AB=BC,  CD=DE, e os angulos
> > internos B e D do pentagono sao de 90 graus. Seja M o ponto medio do lado
> > AE. Demonstre que os segmentos DM e BM sao iguais, e que o triangulo DBM eh
> > retangulo.
> >
> >       Abracos,
> >       Marcio
> >
> > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu
> > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos,
> > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por
> >
> > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu
> > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos,
> > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por
> > cis^(90) = i, e desenhar o pentagono no plano.. o resto sao soh poucas
> > linhas de conta.
> >
> >