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Sauda,c~oes,
São mesmo muito úteis. Considere o problema:
Mostre que S_n = binom{n}{0} + binom{n}{3} + binom{n}{6} + ...
= sum_{j >= 0} binom{n}{3j} =
\frac{1}{3} ( 2^n +
2cos\frac{n pi}{3} ) , onde \frac{x}{y} = x/y;
binom{x}{y} = ( x )
( y )
Aqui o w do w^3=1 aparece novamente.
Ou as generalizações S_n(m) = sum_{j >= 0} binom{n}{mj}
para m > 0 e
S_n(k,m) = sum_{j >= 0} binom{n}{k + mj} para 0 <= k
< m.
E bota w = cis 2pi/m (raiz m-ésima da unidade)
nisso!!!
[ ]'s
Lu'is
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quarta-feira, 18 de Abril de
2001 11:36
Assunto: Re: Primos
Certamente essa parte :"logo w^2+w+1 eh fator de
w^5+w^4+1", foi pra economizar tempo... não é óbvio, necessita desse passo
intermediário sim !
Isso é pra mostrar que os complexos são muito
úteis, ao contrário do que muitos pensam ( inclusive eu pensAVA assim...
).
Abraços,
¡ Villard !
Caro Rodrigo.
Onde voce diz: "seja w raiz cubica da unidade",
eh claro que voce estah subentendo "diferente de 1", se nao w^2+w+1 nao
poderia dar zero. Ou seja, este w so pode ser complexo nao real, mais
precisamente cis(2pi/3) = -1/2 + i RQ(3)/2, ou seu conjugado
cis(-2pi/3) = -1/2 - i RQ(3)/2.
Para mim, nao eh muito claro o seu "logo
w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1". Eu preferiria acrescentar o passo
intermediario: Analogamente, P(u)=0, onde u = conjugado de w. Logo P(z) eh
divisivel por (z-w)(z-u), que eh igual a z^2+z+1.
De qualquer forma, o interessante do seu metodo
eh como se resolvem problemas de aritmetica dos inteiros usando complexos! O
velho Gauss ja fazia isto numa epoca em que os matematicos ainda tinham
vergonha de admitir a existencia dos complexos. Foi fatorando
a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) que ele resolveu o celebre problema: "que inteiros sao
somas de dois quadrados?". E ahi nascia o anel dos inteiros de Gauss, o
primeiro exemplo "natural" (alem dos inteiros usuais e dos polinomios com
coeficientes em um corpo) de um anel onde vale um algoritmo de
Euclides.
Vivam os complexos! Abaixo os detratores dos
complexos (inventores de palavras como "imaginarios")!
JP
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