[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: Parte inteira - insistente
Eu tentei achar o valor para o qual a sequência converge e como não
consegui, fiz algumas contas pelo computador... calculei o somatóio até
G(100), depois até G(1000). Os valores são muito parecidos...
aproximadamente 3,5988.... Alguém se habilita a achar o valor exato ?
E isso que você falou de achar um "melhor" K, não sei se é possível não....
pq para cada aproximação desejada, vai existir um K. Mas existe um desses
que é a melhor aproximação de todas ???
Abraços,
¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 17:06
Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>Ola Luis Lopes, Villard e
>demais colegas da Lista :
>
>Saudacoes !
>
>Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
>Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento
>anterior.
>
>Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
>cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
>solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
>isso.
>
>Antes gostaria de Citar um Livro :
>
>A Divina Proporcao
>(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
>H.E. Huntley
>Editora Universidade de Brasilia.
>
>Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero
de
>ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para
aticar
>a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
>seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo
>!
>
>Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
>conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
>
>Fn+2 = Fn+1 + Fn.
>
>A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou
>representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
>
>Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada
>de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de
>ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso
>como :
>
>H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 -
>RZ_2(5) ) / 2 )
>
>Sabemos que Binet mostrou que :
>
>Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
>Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto :
LIM
>Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H <
>1.
>
>O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +
>1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos
>todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
>
>
>Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
>
>
>O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n”
suficientemente
>grande, a sequencia :
>
>Gn, Gn+1, Gn+2, ...
>
>Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de
>visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ...
>igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
>
>Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
>somada como seque :
>
>S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto
e
>:
>S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ).
>S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
>
>A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao.
>O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
>conhecida. Assim, definimos a funcao :
>
>S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
>
>Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao
infinito,
>dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator
constante
>(H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
>intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou
>EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
>
>MINHA IDEIA
>
>Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO,
>senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao
desaparecer,
>o que tornara as coisas mais faceis.
>
>Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
>(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
>coisas e determinar K. E legal !
>
>Um abraco a todos
>Paulo Santa Rita
>4,1532,18042001
>
>>From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Re: Parte inteira - insistente
>>Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
>>
>>Sauda,c~oes,
>>
>>< .... eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a série
>>converge ( que é o meu palpite ! ), ....
>>
>>Testar a convergência de uma série é uma coisa, achar a forma fechada
(se),
>>outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por achá-lo
>>interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam nossa
>>correspondência.
>>
>>===
>>Dear Luis:
>> Maybe the proposer had something in mind that I missed.
>>I would certainly be interested if he had some sort of exact
>>formula for the sum of the series. What I did to evaluate
>>\lfloor 50 * sum \rfloor was just based on expediency, so I
>>am pretty sure that there is a more satisfactory approach.
>>
>>Cecil
>>
>>Luis Lopes wrote:
>>
>>Dear Cecil,
>>
>>Many thanks. I thought the problem didn't have to resort to this
>>(Maple,numerical comparison etc) because he insisted on it. I thought it
>>was a "standard" exam problem. Sorry, it is a little disappointing. I will
>>forward your answer to the list. I do hope to have a feedback from the
>>"author" regarding his expectations, origin of this problem etc. Happy to
>>talk to you. Cheers, Luis
>>
>>===
>>
>>Então foi isso. E aí, alguém teria um ataque (approach) mais satisfatório?
>>
>>[ ]'s
>>Lu'is
>>
>> De: Rodrigo Villard Milet
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Enviada em: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 22:15
>> Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>>
>>
>> Bem, se quer saber a origem do problema, é a seguinte:
>> O Marcelo Souza, daki da lista me manda às vezes uns problemas e ele me
>>mandou, certa vez um que era pra ver se uma série lá convergia.... daí, eu
>>percebi que a gente pode criar várias séries que geram problemas muito
>>intererssantes e a primeira que me veio à cabeça foi essa ! hehehehe....
>>nem sabia que nunca tinha sido feito... Da outra vez que ele apareceu na
>>lista tb fui eu que mandei... eu queria uma resposta fechada, ou seja,
>>saber se realmente a série converge ( que é o meu palpite ! ), pois
>>[(1-sqrt5)/2]^n tende a zero para n grande, logo a série se aproxima de
uma
>>PG.... sei lá...
>> Abraços,
>> ¡ Villard !
>> -----Mensagem original-----
>> De: Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 19:29
>> Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>>
>>
>> Sauda,c~oes,
>>
>> Aí vai a resposta "completa" para o problema.
>>
>> Sendo o que foi, qual o interesse do problema? Melhor dizendo,
>> você esperava uma resposta fechada? Qual a origem deste
>> problema? Também ficara curioso com ele e lembro-me que ele
>> aparecera há muito tempo na lista. E também não tivera nenhuma
>> idéia de como tratá-lo.
>>
>> Mais uma vez temos que nos contentar com uma resposta numérica.
>>
>> [ ]'s
>> Lu'is
>>
>
>_________________________________________________________________________
>Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
>
>