Caro Rodrigo.
Onde voce diz: "seja w raiz cubica da
unidade", eh claro que voce estah subentendo "diferente de
1", se nao w^2+w+1 nao poderia dar zero. Ou seja, este w so pode ser
complexo nao real, mais precisamente cis(2pi/3) = -1/2 + i RQ(3)/2, ou seu
conjugado
cis(-2pi/3) = -1/2 - i RQ(3)/2.
Para mim, nao eh muito claro o seu "logo
w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1". Eu preferiria acrescentar o passo
intermediario: Analogamente, P(u)=0, onde u = conjugado de w. Logo P(z) eh
divisivel por (z-w)(z-u), que eh igual a z^2+z+1.
De qualquer forma, o interessante do seu metodo
eh como se resolvem problemas de aritmetica dos inteiros usando complexos! O
velho Gauss ja fazia isto numa epoca em que os matematicos ainda tinham
vergonha de admitir a existencia dos complexos. Foi fatorando
a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) que ele resolveu o celebre problema: "que inteiros
sao somas de dois quadrados?". E ahi nascia o anel dos inteiros de
Gauss, o primeiro exemplo "natural" (alem dos inteiros usuais e
dos polinomios com coeficientes em um corpo) de um anel onde vale um
algoritmo de Euclides.
Vivam os complexos! Abaixo os detratores dos
complexos (inventores de palavras como
"imaginarios")!
JP
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, April 17, 2001 7:15
PM
Subject: Re: Primos
Note que n^5 + n^4 + 1 não é
irredutível. Existe um artifício bem interessante o qual o
Márcio Cohen ( da lista ) me disse outro dia...
Seja P(n) = n^5 + n^4 + 1 . Seja w raiz
cúbica da unidade. Logo w^3 = 1 ou seja, para w diferente de 1,
temos w^2 + w + 1 = 0. Vamos calcular P(w) :
P(w) = w^5 + w^4 + 1 = w^2 + w + 1 = 0. Logo, w^2 + w + 1 é
fator de w^5 + w^4 + 1 . Fazendo a divisão de w^5 + w^4 + 1 por
w^2 + w + 1 , achamos exatamente w^3 - w + 1. Logo, P(w) = (w^2 + w +
1)*(w^3 - w + 1), ou seja, temos que P(n) = (n^2 + n + 1)*(n^3 - n + 1),
É fácil verificar que os dois fatores são maiores
que 1, para n>1, logo P(n) é composto.
Abraços,
¡ Villard
!
Olá amigos,
Aqui vai problema:
1)Mostre que n^5+n^4+1 não
é primo para n>1.
2)Qual são os primos da forma
n^n+1 menores que 10^19?
Um abraço
Fábio
Arruda