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Caro Rodrigo.
Onde voce diz: "seja w raiz cubica da unidade", eh
claro que voce estah subentendo "diferente de 1", se nao w^2+w+1 nao poderia dar
zero. Ou seja, este w so pode ser complexo nao real, mais precisamente
cis(2pi/3) = -1/2 + i RQ(3)/2, ou seu conjugado
cis(-2pi/3) = -1/2 - i RQ(3)/2.
Para mim, nao eh muito claro o seu "logo w^2+w+1 eh
fator de w^5+w^4+1". Eu preferiria acrescentar o passo intermediario:
Analogamente, P(u)=0, onde u = conjugado de w. Logo P(z) eh divisivel por
(z-w)(z-u), que eh igual a z^2+z+1.
De qualquer forma, o interessante do seu metodo eh
como se resolvem problemas de aritmetica dos inteiros usando complexos! O velho
Gauss ja fazia isto numa epoca em que os matematicos ainda tinham vergonha de
admitir a existencia dos complexos. Foi fatorando a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) que ele
resolveu o celebre problema: "que inteiros sao somas de dois quadrados?". E ahi
nascia o anel dos inteiros de Gauss, o primeiro exemplo "natural" (alem dos
inteiros usuais e dos polinomios com coeficientes em um corpo) de um anel onde
vale um algoritmo de Euclides.
Vivam os complexos! Abaixo os detratores dos
complexos (inventores de palavras como "imaginarios")!
JP
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