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Syllabi of 2 semesters in English

MAT1225/MAT2221 - Estruturas algébricas II (2020.2)

MAT1224/MAT2220 - Estruturas algébricas I (2020.1)

Ementa de Estruturas Algébricas {Álgebra abstrata}

• Primeiro semestre, parte principal - Anéis:
  • Anéis de polinômios.
  • Homomorfismos de anéis.
  • Ideais.
  • Anéis quocientes.
  • Corpo de frações de domínio de integridade.
  • Anéis euclidianos.
  • Irredutibilidade de polinômios. {e.g. Critério de Eisenstein }
• Primeiro semestre, parte segunda - Grupos:
  • Grupos de permutações.
  • Grupos de matrizes. {GL, SL, O, SO, Sp, U, SU; PGL, PSL, PO, PSO, PSp, PU, PSU}.
  • Grupos abelianos.
  • Homomorfismos de grupos.
  • Grupos quocientes.
  • Ações de grupos.
• Segundo semestre (EAII) - Corpos:
  • Extensões de corpos.
  • Corpos de números algébricos.
  • Corpos finitos.
  • Característica de um corpo.
  • Construções por régua e compasso.
  • Teoria de Galois.
  • Exemplos de grau baixo.
  • Resolução das equações de graus 3 e 4.
  • Grupos solúveis e resolução por radicais.
  • Exemplos de equações que não podem ser resolvidas por radicais.

Bibliografia.
Os 3 primeiros livros ([Anéis], [Grupos], [Álgebra]) são livros livres e de código aberto.
Aliás, [Anéis] e [Grupos] são livros para IBL (inquiry-based learning), e eles são sugeridos para graduação (MAT1124).
[Álgebra] pode ser usado em vez de livros listados embaixo, este livro é sugerido para pós-graduação (MAT2220).
O livro texto [6] de Bartel van der Waerden é baseado nas notas das aulas de Emil Artin e Emmy Noether, circa 1930.
Os definições e teoremas sobre anéis, ideais e, geralmente, estruturas algébricas, que a gente discuta neste curso
eram cristalizadas nas trabalhos de E. Noether, E.Artin e David Hilbert noventa anos atrás. {Timeline of algebra e History of algebra}
A coisa que odeio neste livro é uso dos letras góticas, além disso é bom.
O livro texto [4] de Serge Lang (um elemento do grupo que se chama Nicolas Bourbaki)
apareceu em 1965 como uma "modernização" do livro de van der Waerden, e influenciou os livros escritos a partir dele.

• [Anéis]: ringswithinquiry.org
  de Michael Janssen e Melissa Lindsey
• [Grupos]: Introductory Abstract Algebra by M.L.Morrow, available at jiblm.org
• [Álgebra]: Abstract Algebra: Theory and Applications,
  Everything you wanted to know about abstract algebra, but were afraid to buy!
  O livro de Tom Judson com tradução castelhano de Antonio Behn e exercícios em SAGE de Robert Beezer.
  Available in many formats at abstract.ups.edu
• 
  1) Garcia, Arnaldo, Lequain, Yves: Elementos de Álgebra, Projeto Euclides. Rio de Janeiro: Projeto Euclides IMPA, 2002.
  2) Artin, Michael: Álgebra. New Jersey: Prentice-Hall, 1991.
  3) Jacobson, Nathan: Basic álgebra. San Francisco: W. H. Freeman, 1980.
  4) Lang, Serge: Algebra. 3ª ed. Reading. Boston: Addison-Wesley, 1993.
  5) Vilanova, C.: Elementos da Teoria dos Grupos e da Teoria dos Anéis. Rio de Janeiro: IMPA, 1972.
  6) van der Waerden, Bartel Leendert: Modern Algebra. New York: F. Ungar, 1950.
  7) Auslander, Maurice, Buchsbaum, David Alvim: Groups, rings, modules. New York: Harper <&> Row, 1974.
  8) Kaplansky, Irving: Fields and rings. 2. ed. Chicago: The University of Chicago, 1969.
  9) Gallian, Joseph Anthony: Contemporary abstract algebra. 9th edition. Cengage.com. Cf. página de autor.

Software: PARI.math.u-bordeaux.fr, SageMath.org

1. [03.10] (L856)
   • Teorema "natalino" de Fermat sobre somas de dois quadrados. Formulação e exemplos. [!w: gl es ca en +provas]
   • Resíduos módulo 4
   • Números de forma 4k+3 não são somas de dois quadrados
   • Exemplos dos corpos, anéis, grupos e monoides relacionados com números inteiros.
   • Submonoides dos números naturais ("monoides de supermercado")
   • Números complexos e norma dos números de Gauss
   • Somas de dois quadrados são iguais às normas de inteiros de Gauss
   • Produto dos normas é norma do produto
   • Grau de polinômio de um variável.
   • Algoritmo de Euclides para inteiros.
   Para pensar: algoritmo de Euclides para inteiros de Gauss,
   para polinômios (dica: grau em vez de norma)?
   Bônus: dualidade de supermercado com 2 moedas (só formulação).
2. [03.12] (L506)
   • Princípio de Dirichlet para conjuntos finitos e suas aplicações.
   • Aritmética modular:
     • Relação de congruência.
     • Anel de classes de congruência.
     • Menor sistema de resíduos módulo número natural.
   • Teorema: resíduos módulo primo é um corpo!
   • Resíduos quadráticos, símbolo de Legendre (2 definições),
   • Lema: produto de dois não-quadrados é um quadrado.
   • Binômio de Newton, triângulo de Pascal, coeficientes binomiais.
   • Morfismo de Frobenius [confere Investigação 4.3.2]
   • Pequena teorema de Fermat
3. [03.24] (gp jornal).
   • Introdução nas experimentações com números primos, resíduos e polinômios
     apoia-se em minha amada calculadora, PARI/GP!
   • Teorema chinês do resto.
   • Função totiente de Euler [gp: eulerphi] e a sua multiplicatividade.
   • Sistema reduzido de resíduos módulo número natural, grupo multiplicativo de resíduos (G_m).
   • Morfismos entre estruturas algébricas e por que uns morfismos são uteis.
   • Núcleo e imagem dum morfismo duns grupos abelianos.
4. [03.26] (gp jornal)
   • Dois operações algébricas com resíduos:
     • grupo aditivo (G_a),
     • monoide multiplicativo,
     • grupo multiplicativo (G_m).
   • Tábua de multiplicação de monoide multiplicativo (Quadrado védico).
   • Comparação das tábuas de Cayley: tábua de adição X tábua de multiplicação.
   • Exercício: quais destes grupos são isomorfos: Z/4, (Z/5)^*, (Z/8)^*, (Z/12)^* ?
     Para tábuas de multiplicação dos grupos de 4 elementos consulta e.g. páginas 144-145 de
     Prof. Cayley. “On the Theory of Groups.” American Journal of Mathematics, vol. 11, no. 2, 1889, pp. 139-157.
   • Renomeação como substituição. [gp: subst, substvec]
   • Matriz de permutação! (usamos uma matriz de transposição)
   Bônus: Início duma pequena discussão filosófica sobre fundações de álgebra,
   sua história e desenvolvimento, com uma pastilha da lógica e metamatemática.
   „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“
   Axiomas de Peano e problema de provar sua consistência.
5. [03.31] (gp jornal)
   • Teorema: cada subgrupo finito no grupo multiplicativo de corpo é cíclico!
   • Formulação e exemplos. [gp: znprimroot, znorder]
   • Corolário: existência de raízes primitivos em resíduos modulo primos.
   • Geometria euclidiana:
     • números reais como cumprimentos duns intervalos
       e como suas classes de equivalência.
     • "Álgebra geométrica" de gregos [en].
     • Propriedade arquimediana para números reais e inteiros.
     • Divisão com resto dos números reais e inteiros:
       • divisão usando substração repetida (en:division by repeated subtraction)
       • divisão euclidiana (en:Euclidean division, es:división euclídea),
     • a prova de existência usando propriedade arquimediana e indução.
   • Parte fracionária e partes inteiras dos números reais;
     funções round (arredondamento), floor (piso), ceil (teto) e frac (quociente euclidiano).
     [gp: round, floor, ceil, frac]
   • Construção dos resíduos dos inteiros modulo inteiro.
   • Endomorfismos dos conjuntos finitos.
   • Lema: cado resíduo é uma raiz de unidade
     (e a prova sem uso de pequeno teorema de Fermat).
   • Ordem dos elementos no grupo multiplicativo.
6. [04.02] (gp jornal)
   Bônus: Alguns grandes ideias e desenvolvimentos em historia de álgebra, quais podem parecer triviais para estudantes da nossa dia,
   ou "quem é o pai da álgebra?": Diofanto de Alexandria (ideia de variável, e introdução dos polinômios)
   ou François Viète (álgebra simbólica, "nullum non problema solvere").
   • Os files "~/.gprc" e "~/.gpalias". Como fazer jornais, cores de prompt, etc
   • [ gp: funções floor(), ceil(), round(), frac() ]
     • uso deles para escolher dígitos particulares dos números reais
     • como usar frac() para ver se rácio é reduzido,
     • o que será resto euclidiano em caso reduzido.
   • Semigrupo livre com um gerador:
     • jeitos de colocar parenteses,
     • exemplo de sintaxe para gramática gerativa:
       alfabeto dos símbolos terminais,
       base (uma palavra 'm' de um letra),
       regras de produção
       Se 'x' e 'y' são palavras boas, então '(x*y)' é uma palavra boa.
     • Recursividade para conjuntos das palavras boas,
     • Corolário: uma recursão para números f(n) das palavras boas com n estrelas.
   • Como programar uma função recursiva f(n) no PARI/GP
     (um jeito ingênuo (sem memória), e um jeito mais rápido).
   • O que é On-line Encyclopedia of Integer Sequences e como la usar.
   • A sequência https://oeis.org/A000108 é a sequência dos números de Catalan!
   • Exercício: provar que f(n) são números de Catalan.
   • Como multiplicar as árvores?
     (pensa em árvore genealógica de criança como um resultado dessa operação por os argumentos sendo as árvores genealógicas de pai e de mãe;
     NB - assimetria entre pai e mãe significa que ordem dos argumentos é importante).
7. [04.07] (gp jornal)
   • Umas estruturas algébricas livres:
     • Os produtos das árvores e as ordens de aplicação das funções binárias.
     • Concatenação (catena = cadeia) das cadeias de caracteres e semigrupos livres.
     • Cadeia vazia e monoides livres.
   • Classificação dos endomorfismos dos conjuntos finitos.
   • Lema: Resíduos coprimos munidos com multiplicação é um grupo.
   • Ordem de elemento [gp: znorder]
8. [04.14] {04.09 é feriado} (gp jornal)
   File .gprc (configurações de PARI/GP).
   • Diferentes pontos de vista de polinômios.
   • Substituição = avaliação = composição
     é um morfismo dos anéis (respeita operações aritméticas).
   • Fatoração dos polinômios com raízes.
   • Lema: número das raízes no domínio de um polinômio é ao máximo grau dele.
9. [04.16] (gp jornal - depois de aula, olhe!)
   • Lema+Exercício: existência dos (e,f) t.q. ord(x^e y^f) = mmc(ord(x), ord(y)).
   • Fim do demonstração de existência dumas raízes primitivas para os resíduos modulo um número inteiro primo.
   • Corolário: a existência das raízes de (-1) modulo os primos de forma 4k+1.
   • Algoritmo de divisão euclidiano pelos números inteiros gaussianos, considerações planimétricas.
   • Uma demonstração de teorema de Fermat sobre somas de dois quadrados.
   • Exercício: realizar em PARI/GP um algoritmo de divisão com resto dos inteiros de Gauss.
   • Os bônus:
     • números primos de Sophie Germain,
     • formulação do última teorema de Fermat,
     • $k = \sum_{k = de} \phi(d)$,
     • formula de inversão de Möbius.
10. [04.28] {04.21 e 04.23 são feriados} (gp jornal)
    • Divisão euclidiano e máximo divisor comum (MDC) para inteiros de Gauss. Algoritmos.
    • Programas em PARI/GP:
      • div-orig.gp(original, NB - mydiv é errado, precisamos usar round() em vez de floor(), explique!),
      • div-com.gp(com (muitos) comentários).
      • div-curto.gp(versão curta, só 3 linhas!).
    • Inteiros de Eisenstein.
    • Formula de Euclides para Ternos pitagóricos.
    • Como MDC dos números de Gauss e Eisenstein apoia resolver "x^4 + y^4 = z^4" e "x^3+y^3=z^3" em números inteiros.
    • Raízes da unidade e anéis de Kummer.
    • O que são os ideais e porque têm este nome (tbc - to be continued).
    • Exercício: realizar em PARI/GP um algoritmo de computação de máximo divisor comum dos inteiros de Eisenstein.
    • Definições. Anel. Morfismo dos anéis. Núcleo. Ideal. Anel quociente (anel dos resíduos). Corpo e domínio de integridade.
    • domínios fatoriais (DFU - domínios de fatoração única),
    • ideais principais e domínios de ideais principais (DIP),
    • Domínios euclidianos. Algoritmo de Euclides.
    • [Teorema 3.2.11]: domínios euclidianos são DIP
    • [Teorema 3.2.10]: DIP são DFU formulações e ideia de demonstração (tbc).
    Bônus (útil para resolver 3.2.14): conteúdo de polinômio, preparações para lema de Gauss.
11. [04.30]
    • Subanéis
    • Anéis euclidianos
    • Teorema: inteiros de Gauss é um anel euclidiano
    • Teorema: inteiros de Eisenstein é um anel euclidiano
    • Demonstração planimétrica: melhor aproximação.
    • Exemplos dos subanéis quadráticos no números complexos que não são euclidianos.
    • Relação com Mosaico de Dirichlet e área de domínio fundamental
    Bônus: descida infinita de Fermat.
12. [05.05]
    • Resumo: anéis, polinômios, ideais, quocientes, morfismos.
    • Teorema fundamental de isomorfismo dos anéis (primeira, en)
    • Corpo de frações de domínio de integridade,2 propriedades e construção.
13. [05.07]
    • Conferência entre a primeiro parte de ementa e livro [Anéis]
    • Alguns propriedades de corpos e morfismos neles/deles/etc
    • Corpo de frações de subanel de um corpo: construção de frações X consideração de subcorpo gerado por subanel
    • Morfismos de anel quociente
    • Exemplos de corpos de frações de números de Gauss, Eisenstein, Z[2i],Z[x],etc
    • Os bônus:
      • polinômios sobre polinômios
      • números algébricos
      • estruturas algébricas e seus morfismos
      • propriedades comuns dos teoremas fundamentais dos homomorfismos
14. [05.12]
    • Correspondência entre ideais de anel quociente e ideais que contem o ideal original
    • Porque problema de fatoração do número primo em inteiros de Gauss é equivalente ao problema de redutibilidade de polinômio x^2+1 modulo primo
    • Morfismo de Frobenius em ação
15. [05.14]
    • Discussão: demonstrações dos teoremas 3.2.11 e 3.2.10 (discutimos Teorema 3.2.4 + Teorema 3.2.6)
    • Operações com ideais - produto, interseção, soma infinita
    • Cadeias crescentes dos ideais
    • CCC - condição de (estabilização de) cadeias crescentes
    • Demonstração de Teorema 3.2.4: os DIPs satisfazem CCC
    • Divisibilidade e fatorações no linguagem dos ideais principais
16. [05.19]
    • Bônus: Emmy Noether é um filha de Max Noether, Emil Artin é um pai de Michael Artin.
    • ACC/DCC: condições de cadeias ascendentes/descendentes
    • Anéis de Emmy Noether: os que gozam ACC
    • (bis) DIP são anéis noetherianos
    • Anéis de Emil Artin: os que gozam DCC
    • Anéis de series de Taylor sobre um corpo ou sobre um outro anel: classificação dos elementos invertíveis e todos os ideais (usando valoração)
    • Exemplos de DIP não artinianos
    • Definição: álgebras [comutativas associativas] sobre um corpo
    • álgebras de dimensão finita são anéis artinianos
    • anéis finitos são artinianos
    • Exemplos dumas álgebras de dimensão finita e duns anéis finitos
    • Exemplos duns anéis artinianos que não são DIP
    • poset: Conjunto parcialmente ordenado
    • Exemplo: conjunto potência e subconjuntos dele
    • Exemplo: ideais num anel é um poset
    • Interseção e soma dos ideais em termos de poset, ordem em termos de interseção ou soma
    • Soma, interseção e produto dos ideais no anel dos inteiros
    • Exemplo de posets dos ideais num anel finito
    • Esqueceu nomear: Reticulado (estrutura algébrica). O conjunto dos ideais num anel munido com operações de soma e interseção é um reticulado neste sentido.
17. [05.21] (gp jornal)
    • Problemas para G1 de graduação.
    • Exemplo de anel não noetheriano (reusando a construção de anel livre - polinômios de variáveis x_1,x_2,...).
    • Decomposições de polinômios
    • Construção de polinômios irredutíveis
    • gp: factor(polinômio)
    • Uma demonstração de irredutibilidade de (x^7-1)/(x-1) em Z[x]
    • Bônus: formulação de critério de Eisenstein
18. [05.26] (gp jornal)
    • PARI/GP reference card (Check It!)
    • Demonstração de critério de Eisenstein
    • Polígono de Newton
    • Soma de Minkowski dos polígonos
19. [05.28] Grupos: pre-resumo.
    • Grupo de permutação (grupo de bijeções, grupo simétrico).
    • Decomposição cíclico duma permutação.
    • Transposições, involuções.
    • Exemplo básico de ação no si mesmo - multiplicação de esquerda.
    • Teorema de Cayley: cada grupo é isomorfo de um subgrupo de grupo de bijeções.
    • Exemplos dos grupos no geometria: transformações lineares, grupo euclidiano (de isometrias).
    • Grupo geral linear, grupo ortogonal.
    • Exemplo: grupo de triângulo é isomorfo de um grupo de permutações das suas vértices.
    • Exemplo: grupo multiplicativo de um anel.
20. [06.02]
    • O inverso é único se existe. Inverso de um produto.
    • Elementos inversíveis de um monoide é um submonoide e um grupo.
    • Grupo gerado por um subconjunto, geradores, grupos cíclicos.
    • Ordens dos elementos, classificação de grupos cíclicos.
    • Grupos, morfismos, imagem, núcleo.
    • Subgrupos e classes laterais (cosets).
    • Conjugação.
    • Subgrupos normais.
    • Núcleos são subgrupos normais.
    • Grupo quociente.
    • Primeiro teorema de homomorfismo de grupos (ou teorema homomórfico fundamental)
    • Ações de grupos nos conjuntos e representações nos espaços vetoriais.
    • Ação esquerda, direita, adjunta (conjugação). Classes de conjugação.
    • Subações, órbitas e estabilizadores. Ações transitivos.
21. [06.04] Prazo de G1 para graduação.
    • exemplos duns morfismos e dumas ações duns grupos
    • grupo linear geral - GL, GL(V), GL(n), GL(n,K),...
    • determinante como morfismo
    • grupo linear especial - SL
    • Centro de um grupo, subgrupos centrais
    • Centro como núcleo e como conjunto dos pontos fixos de ação adjunto
    • Grupo adjunto (quociente com respeito de centro)
    • Centro de GL é um subgrupo dos escalares
    • grupos lineares projetivos - PGL, PSL
    • Ação dos transformações projetivas nos espaços projetivas
22. [06.09] (pari log)
    • Subgrupo comutador.
    • Quocientes abelianos, abelianização
    • Grupo Linear: determinante é abelianização
    • AL (álgebra linear): determinante como função multilinear anti-simétrico
    • AL: derivação de formula para determinante como soma sobre grupo simétrico
    • Sinal (ou assinatura) de permutação
    • Grupo das permutações (grupo simétrico): sinal é o homomorfismo de abelianização, grupo alternante
    • Bônus: O jogo do 15
    • Grupo de automorfismos de um grupo: ação no grupo X ação no conjunto.
    • Exemplo: ação adjunto X ações laterais (esquerda/direita).
23. [06.16] {06.11 é feriado}
    • Automorfismos de um grupo: internos X externos (en).
    • Grupos simples - definição
    • Teorema de Lagrange
    • Bônus: morfismos das ações e das representações.
    • Representação de grupo é um representação de álgebra de grupo.
    • Classes de conjugação no GL(n,C), matrizes semelhantes e forma normal de Jordan (formulação)
    • Grupo das permutações (grupo simétrico): classes de conjugação (Frame shape, partições)
24. [06.18]
    • Bônus: prova que (-2) é quadrado modulo primo p = (8k+3)
    • Formas bilineares (anti)simétricas
    • Grupos ortogonais e simpléticos
    • Ação de um grupo ortogonal no conjunto de bases ortonormais
    • Grupos clássicos como grupos de matrizes
25. [06.23]
    • Corpos não comutativos
    • Quatérnios de Hamilton e matrizes
    • Norma de quatérnio, conjugação, inverso
    • Grupo de quatérnios Q8 en
    • Grupo de quatérnios Q24
    • Anéis de quatérnios inteiros: inteiros de Lipschitz e inteiros de Hurwitz en
    • Divisão euclidiana dos quatérnios de Hurwitz
    • Formulação de teorema de Lagrange sobre soma de 4 quadrados e ideia de prova usando quatérnios de Hurwitz
26. [06.25]
    • Centro, centralizadores, classes de conjugação
    • Grupos finitos: formula de classes e suas aplicações
    • Existência dos grupos de Sylow
    • Formulação dos teoremas de Sylow es, cf. Problema 8 no G2
    • p-grupos têm centro não trivial
    • Teorema de Cauchy
    • Teorema de Wedderburn e uma demonstração
27. [06.30]
    • Uma demonstração que um polinômio ciclotômico tem coeficientes inteiros
    • Lembrança: formula de classe, teoremas de Sylow e Cauchy
    • Classes de conjugação de grupo simétrico e suas cardinalidades
    • Morfismo de S_4 no S_3 e o grupo de Klein
    • Cada grupo de ordem 15 é cíclico
    • (A repetir:) grupos diedrais, seção, produto semidireto
28. [07.02]
    • Exemplo: elementos de ordem finito no GL(2,Z)
    • Ordens dos matrizes sobre um anel
    • Relação entre polinômios e matrizes
    • Mais sobre polinômios ciclotômicos
    • AL: o polinômio característico e um polinômio minimal
    • Teorema de Cayley-Hamilton
    • Derivação de teorema de Cayley-Hamilton por anéis comutativos gerais (de caso dos corpos)
    • Subgrupos de índice 2 são normais
    • Exercício: subgrupos de índice igual ao divisor minimal de ordem são normais
    • Grupos diedrais finitos e infinito
    • Grupo dos transformações de um reto afino
29. [07.07] (gp jornal)
    • Extensões de grupos
    • Seções de morfismos e complementos de subgrupos
    • Produto semidireto
    • Extensões centrais
    • Grupos de Heisenberg en
    • Classificação de grupos de ordem ao máximo 15
    • Bônus (só formulações):
      • grupos solúveis,
      • teorema de P.Hall sobre complementos, [cf. teorema de Schur-Zassenhaus],
      • teorema de Feit-Thompson,
      • classificação dos grupos simples finitos
30. [07.09]
    • SO(2) = R/Z e seus subgrupos finitos
    • Formas sesquilineares e hermitianas en, matrizes hermitianas e anti-hermitianas, conjugado transposto
    • Operadores unitários, matrizies unitárias, grupos unitários U, SU, PU, PSU
    • Media e uma construção de uma métrica invariante
    • Subgrupos finitos de SL(2,C), SU(2), SL(3,R), rotações SO(3,R), quatérnios
    • Formulação: Estrutura de módulos finitamente gerados sobre domínios dos ideais principais. Forma normal de Smith. Forma normal de Frobenius.
31. [07.14]
    • Series de composição en, teorema de Jordan-Hölder
    • Composição de Gauss de formas quadráticas binárias sobre inteiros, grupo de classes de ideais (formulação)
32. 15 de julho: último dia de atividades acadêmicas de 2020.1
    Tópicos omitidos:
    • AL: poderes tensoriais (anti)simétricos
    • B: álgebra de Grassman (álgebra externa) en
    • B: álgebra de Clifford e grupo Spin en
    • Grupos de Frobenius
33. 20 de julho: lançamento de graus finais