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Syllabi of 2 semesters in English
MAT1224/MAT2220 - Estruturas algébricas I

MAT1225/MAT2221 - Estruturas algébricas II
2020.2, segundas e quartas, 15:00-17:00.

Ementa de Estruturas Algébricas {Álgebra abstrata}



Bibliografia basica livre específica para o segundo semestre.

Bibliografia complementar:

Software: PARI.math.u-bordeaux.fr, SageMath.org

Lista dos comandos em PARI/GP que vamos usar: subst, substvec, apply, Pi, cos, matfrobenius, charpoly, partitions, forperm, lindep, algdep, Mod, lift, polisirreducible, factor, factormod, factorff, factorpadic, issquare, eulerphi, polcyclo, poliscyclo, moebius, sumdiv, poldegree, polroots, poldisc, polgalois, polredbest, polcompositum, galoisinit, galoissubfields, galoissubgroups, galoisisabelian, galoisidentify, galoisfixedfield, galoisexport, galoisgetname, galoisisnormal, galoisconjclasses, galoischartable, poltschirnhaus, ffinit, ffgen, ffextend, ffembed, ffmap, .mod, .orders, nfinit, nfdisc, nfsplitting, nfsubfields, nfgaloisconj, nfgaloisapply,...

Lista das aulas do segundo semestre:
  1. [08.24] Construções com régua e compasso, 3 problemas não resolvidas na antiguidade. Corpos dos números construtivos (com compasso). Grau de exensão de corpos.
  2. [08.26] Extensões dos corpos. pari jornal - lindep and algdep. Dependências algébricas por cos(2π/n). Polinômios ciclotómicos Φ_n(x) [ polcyclo(n) em PARI/GP ]: uma definição e uma prova que os coeficientes deles são racionais. Função μ de Möbius, formula de inversão de Möbius. Função φ(n) totiente de Euler [ eulerphi(n) em PARI/GP ], φ(n) = deg Φ_n.
  3. [08.31] Demonstração de teorema de Wentzel (1837).
  4. [09.02] Irredutibilidade de Φ_p por p primo (usando critério de Eisenstein).
  5. [09.09] {09.07 = Independência} Identidade de Ramanujan e coeficiente de polinómio ciclotómico, derivação de inversão de Möbius. Monoides e grupos multiplicativos nos anéis de polinómios e series de Taylor e nos corpos de funções racionais e series de Laurent. Valoração e coeficiente lider como morfismos de monoides/grupos multiplicativos.
  6. [09.16] pari jornal - experimentos com integral e soma de Gauss. As somas de Gauss. Automorfismos de corpo ciclotómico primo. Mergulhões de corpo ciclotómico num corpo dos números complexos. Lembrança: uma raiz primitivo, logaritmo discreto, [ znprimroot, znlog ].
  7. [09.21] Construção de corpo de decomposição. Normalidade de extensões e polinómios. Separabilidade. Extensões de Kummer. 2 tipos de polinómios irredutiveis de grau 3. Resultante e discriminante.
  8. [09.23] pari jornal - trabalho com corpos finitos (geração e geradores, elementos, extensões, polinómios irredutiveis, raizes primitivos, mergulhações). [ ffgen, ffinit, ffembed, ffprimroot, ff*, factor, factormod ] Corpos finitos: elementos de corpo de q elementos são em bijeção com raizes de polinómio x^q - x. Se o corpo qualquer L tem o subcorpo de q elementos, este subcorpo é único. Corpos intermediarios entre dois corpos finitos são em bijeção com divisores da grau de extensão. Experimentos em PARI/GP: factormod(x^(p^n)-x,p)
  9. [09.28] Classificação de automorfismos de corpos finitos. Endomorfismo de Frobenius e poderes dele. Corpos intermediarios como pontos fixos duns poderes de Frobenius. Uma fórmula generativa/recorente para o número de polinómios mónicos irredutiveis de grau n sobre um corpo de q elementos.
  10. [09.30] [pari jornal] Há (q^l-q)/l polinómios mónicos irredutíveis de grau primo l sobre um corpo de q elementos. Então para cada corpo finito existe uma extenção de qualquer grau natural, e corpos finitos de q elementos existem se e só se q é uma potência de primo. Torres de extensões. Fechamentos algébricos, caso geral e caso de corpos finitos. Exemplos explícitos: Extensões de Kummer e extensões de Artin-Schreier [en]
  11. [10.05] [pari jornal] Os bônus (1a hora de video): os vetores X os determinantes em sec. XIX: Hamilton, Cayley, Sylvester, Peano, álgebras de Grassmann e de Clifford. Condensação de Dodgeson, sequência de Somos, phenómeno de Laurent (Fomin-Zelevinsky). Construção de automorfismos de L = Q(i,2^(1/4)) = Q[x,y]/(x^2+1,y^4-2) e a lei da sua composição. Exercício: descrever o grupo Aut L e todos subgrupos dele. Para cada subgrupo H descrever o subcorpo de invariantes L^H.
  12. [10.07]
  13. [10.14] Resumo. Número de Extensões de morfismo no fechamento algebrico e separabilidade. Lema de Artin + demonstração. Demonstração de correspondência de Galois, usando lema de Artin.
  14. [10.19] [pari jornal] Demonstração de teorema sobre um elemento primitivo usando correspondência de Galois. Lema: para qualquer polinómio não zero de n variaveis sobre um corpo infinito K existe um n-tuplo de elementos de corpo tais que valor de polinómio não é zero. Prova: indução.
  15. [10.26] [pari jornal] Polinómios de grau 3 com coefficientes racionais e os corpos de números de grau 3 sobre o corpo de racionais. Polinpomios com discriminante quadrado e os triplos de Davenport. Os bônus (formulações): Cota de Minkowski, produto de Euler, função ζ de Riemann, os teoremas de Euler, Chebyshev e Hadamard e de La Vallée Poissin, hipótese de Riemann, teorema de Mordell, conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer.
  16. [10.28] A repetir: outra demonstração de teorema sobre elemento primitivo, polinómios simétricos. Resolução de Lagrange de um polinómio de grau 4. Ponto de vista de teoria de Galois nas equações de graus 3 e 4.
  17. [11.04] [pari jornal] Critério de construtibilidade de um número algébrico com o compasso: o número é construtivel se e so se o corpo de fatoração dele tem grau potência de 2. Em gp: [nfinit], [nfsplitting], [polgalois], [galoisinit], [galoissubgroups], [galoissubfields], [galoisfixedfield], [galoisisnormal], [galoisisabelian], [galoisexport], também [?10]. Tabela de caráteres de grupo (de Galois): [galoischartable].
  18. [11.09] [pari jornal] Em gp: [nfgaloisconj], [nfgaloisaply]. Como funciona resolução de polinómios em radicais. Formulação do teorema de Abel-Ruffini, e descrição de varios jeitos de o provar.
  19. [11.11] Simetrias de polígonos de Platão.
  20. [11.16] [pari jornal] Transformações de Möbius e reta projetiva. PGL(2,2) = S_3, PGL(2,3) = S_4, PSL(2,4) = A_5. Exercício: PSL(2,5) = A_5.
  21. [11.18]
  22. [11.23]
  23. [11.25]
  24. [11.30]
  25. [12.02]
  26. [12.07]
  27. [12.09]
  28. [12.14] [pari jornal] Problemas de G2. Fechamento separavel de um corpo. Categoria de extensões de um corpo base e um grupo de Galois pro-finito. Completamento de grupo. Números p-adicos. [factorpadic], [partitions], [prime], [vecsort].
  29. [12.18] [pari jornal] Método de Newton e lema de Hensel. Problemas 7-10.
  30. [12.21] {22 de dezembro: último dia de atividades acadêmicas de 2020.2}
  31. [12.23] (13:00) [pari jornal] Consultação. Resolventes gerais e resolvente de Galois. Teoria de Galois usando resolventes de Galois. Especialização de grupos de Galois. Computação de Gal(x^5-x-1) usando a especialização. (cf. Chambert-Loir 5.8 ou Prasolov 4.5.4). Um base de dados de grupos de Galois sobre racionais: http://galoisdb.math.upb.de/groups
  32. [12.28] - último dia de graus