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 GP/PARI CALCULATOR Version 2.12.1 (development 25476-78c5f8d2c)
   i386 running darwin (x86-64/GMP-6.2.0 kernel) 64-bit version
compiled: Jun 21 2020, Apple clang version 11.0.0 (clang-1100.0.33.17)
                     threading engine: single
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parisizemax = 900001792, primelimit = 1000000
(15:57) gp > ?polgalois
polgalois(T): Galois group of the polynomial T (see manual for 
group coding). Return [n, s, k, name] where n is the group order, 
s the signature, k the index and name is the GAP4 name of the 
transitive group.

(16:04) gp > polgalois(x^2+1)
%1 = [2, -1, 1, "S2"]
(16:05) gp > polgalois(x^3+1)
  ***   at top-level: polgalois(x^3+1)
  ***                 ^----------------
  *** polgalois: not an irreducible polynomial in galois: x^3 + 1.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP prompt
break> break

(16:05) gp > factor(x^3+1)
%2 = 
[      x + 1 1]

[x^2 - x + 1 1]

(16:06) gp > polgalois(%[2,1])
%3 = [2, -1, 1, "S2"]
(16:06) gp > polgalois(polcyclo(5))
%4 = [4, -1, 1, "C(4) = 4"]
(16:06) gp > polcyclo(5)
%5 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
(16:06) gp > polgalois(polcyclo(6))
%6 = [2, -1, 1, "S2"]
(16:06) gp > ?polcyclo
polcyclo(n,{a = 'x}): n-th cyclotomic polynomial evaluated at a.

(16:06) gp > ?eulerphi
eulerphi(x): Euler's totient function of x.

(16:06) gp > checkdeg(n)=poldegree(polcyclo(n))==eulerphi(n)
%7 = (n)->poldegree(polcyclo(n))==eulerphi(n)
(16:07) gp > vector(20,n,checkdeg(n))
%8 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
(16:07) gp > polgalois(polcyclo(7))
%9 = [6, -1, 1, "C(6) = 6 = 3[x]2"]
(16:10) gp > polgalois(polcyclo(8))
%10 = [4, 1, 1, "E(4) = 2[x]2"]
(16:10) gp > polgalois(polcyclo(24))
  ***   at top-level: polgalois(polcyclo(24))
  ***                 ^-----------------------
  *** polgalois: error opening galois file: `/usr/local/share/pari/galdata/COS8_49_45'.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP prompt
break> break

(16:11) gp > polcyclo(24)
%11 = x^8 - x^4 + 1
(16:11) gp > polgalois(polcyclo(9))
%12 = [6, -1, 1, "C(6) = 6 = 3[x]2"]
(16:12) gp > polgalois(polcyclo(10))
%13 = [4, -1, 1, "C(4) = 4"]
(16:12) gp > polgalois(polcyclo(11))
  ***   at top-level: polgalois(polcyclo(11))
  ***                 ^-----------------------
  *** polgalois: error opening galois file: `/usr/local/share/pari/galdata/COS10_45_43'.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP prompt
break> break

(16:12) gp > default(datadir)
%14 = "/usr/local/share/pari"
(16:14) gp > polgalois(polcyclo(11))
  ***   at top-level: polgalois(polcyclo(11))
  ***                 ^-----------------------
  *** polgalois: error opening galois file: `/usr/local/share/pari/galdata/COS10_45_43'.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP prompt
break> break

(16:22) gp > polgalois(polcyclo(11))
%15 = [10, -1, 1, "C(10)=5[x]2"]
(16:22) gp > default(datadir)
%16 = "/usr/local/share/pari"
(16:22) gp > polcyclo(11)
%17 = x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
(16:22) gp > polgalois(polcyclo(12))
%18 = [4, 1, 1, "E(4) = 2[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(13))
  ***   at top-level: polgalois(polcyclo(13))
  ***                 ^-----------------------
  *** polgalois: sorry, galois of degree higher than 11 is not yet implemented.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP prompt
break> break

(16:23) gp > polgalois(polcyclo(14))
%19 = [6, -1, 1, "C(6) = 6 = 3[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(15))
%20 = [8, 1, 2, "4[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(16))
%21 = [8, 1, 2, "4[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(18))
%22 = [6, -1, 1, "C(6) = 6 = 3[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(20))
%23 = [8, 1, 2, "4[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(21))
  ***   at top-level: polgalois(polcyclo(21))
  ***                 ^-----------------------
  *** polgalois: sorry, galois of degree higher than 11 is not yet implemented.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP prompt
break> break

(16:23) gp > eulerphi(21)
%24 = 12
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(22))
%25 = [10, -1, 1, "C(10)=5[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(polcyclo(24))
%26 = [8, 1, 3, "E(8)=2[x]2[x]2"]
(16:23) gp > polgalois(x^3+x+1)
%27 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3+x-1)
%28 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-x-1)
%29 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-x+1)
%30 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-2)
%31 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-3)
%32 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-4)
%33 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-x-2)
%34 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-x-3)
%35 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > polgalois(x^3-x-4)
%36 = [6, -1, 1, "S3"]
(16:24) gp > forvec(C=[[0,1],[5,5]],polgalois(x^3-C[1]*x-C[2]))
(16:25) gp > ?forvec
forvec(X=v,seq,{flag=0}): v being a vector of two-component 
vectors of length n, the sequence is evaluated with X[i] going 
from v[i][1] to v[i][2] for i=n,..,1 if flag is zero or omitted. 
If flag = 1 (resp. flag = 2), restrict to increasing (resp. 
strictly increasing) sequences.

(16:25) gp > forvec(C=[[0,1],[5,5]],print(x^3-C[1]*x-C[2]))
x^3 - 5
x^3 - x - 5
(16:25) gp > forvec(C=[[0,5],[1,5]],print(x^3-C[1]*x-C[2]))
x^3 - 1
x^3 - 2
x^3 - 3
x^3 - 4
x^3 - 5
x^3 - x - 1
x^3 - x - 2
x^3 - x - 3
x^3 - x - 4
x^3 - x - 5
x^3 - 2*x - 1
x^3 - 2*x - 2
x^3 - 2*x - 3
x^3 - 2*x - 4
x^3 - 2*x - 5
x^3 - 3*x - 1
x^3 - 3*x - 2
x^3 - 3*x - 3
x^3 - 3*x - 4
x^3 - 3*x - 5
x^3 - 4*x - 1
x^3 - 4*x - 2
x^3 - 4*x - 3
x^3 - 4*x - 4
x^3 - 4*x - 5
x^3 - 5*x - 1
x^3 - 5*x - 2
x^3 - 5*x - 3
x^3 - 5*x - 4
x^3 - 5*x - 5
(16:27) gp > (x^3-C[1]*x-C[2]))
  ***   syntax error, unexpected ')', expecting end of file: 
  ***   (x^3-C[1]*x-C[2]))
  ***                    ^-
(16:27) gp > forvec(C=[[0,5],[1,5]],polgalois(x^3-C[1]*x-C[2]))
  ***   at top-level: forvec(C=[[0,5],[1,5]],
  ***   polgalois(x^3-C[1]*x-C[
  ***   ^-----------------------
  *** polgalois: not an irreducible polynomial in galois: x^3 - 1.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP prompt
break> break

(16:27) gp > ?polred
polred(T,{flag=0}): deprecated, use polredbest. Reduction of the 
polynomial T (gives minimal polynomials only). The following 
binary digits of (optional) flag are significant 1: partial 
reduction, 2: gives also elements.

(16:28) gp > ?polisirreducible
polisirreducible(pol): true(1) if pol is an irreducible 
non-constant polynomial, false(0) if pol is reducible or 
constant.

(16:28) gp > forvec(C=[[0,5],[1,5]],P=x^3-C[1]*x-C[2];if(polisirreducible(P),polgalois(P)))
(16:28) gp > forvec(C=[[0,5],[1,5]],P=x^3-C[1]*x-C[2];if(polisirreducible(P),print(polgalois(P))))
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[3, 1, 1, "A3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
[6, -1, 1, "S3"]
(16:28) gp > A=0
%42 = 0
(16:29) gp > forvec(C=[[0,5],[1,5]],P=x^3-C[1]*x-C[2];if(polisirreducible(P),print(polgalois(P);A++)));A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
%43 = 23
(16:29) gp > forvec(C=[[0,5],[1,5]],P=x^3-C[1]*x-C[2];if(polisirreducible(P),G=polgalois(P);if(G[1]==3,print(P," ",G))))
x^3 - 3*x - 1 [3, 1, 1, "A3"]
(16:30) gp > "Exercício: verificar, que Q[y]/(y^3-3y-1) é uma extensão de Q normal com grupo Z/3"
%45 = "Exercício: verificar, que Q[y]/(y^3-3y-1) é uma extensão de Q normal com grupo Z/3"
(16:31) gp > polroots(y^3-3y-1)
  ***   expected character: ',' or ')' instead of: polroots(y^3-3
  ***   y-1)
  ***   ^----
(16:32) gp > polroots(y^3-3*y-1)
%46 = [-1.5320888862379560704047853011108333479 + 0.E-38*I, -0.34729635533386069770343325353862959200 + 0.E-38*I, 1.8793852415718167681082185546494629399 + 0.E-38*I]~
(16:32) gp > poldisc(y^3-3*y-1)
%47 = 81
(16:33) gp > factor(%)
%48 = 
[3 4]

(16:33) gp > "Um discriminante é um quadrado em Q (corpo base)"
%49 = "Um discriminante é um quadrado em Q (corpo base)"
(16:33) gp > "Ex.: a extensão de grau 3 L=K[y]/(P) sobre K, L/K é normal <=> poldisc(P) é um quadrado em K"
%50 = "Ex.: a extensão de grau 3 L=K[y]/(P) sobre K, L/K é normal <=> poldisc(P) é um quadrado em K"
(16:34) gp > ?issquare
issquare(x,{&n}): true(1) if x is a square, false(0) if not. If n 
is given puts the exact square root there if it was computed.

(16:35) gp > issquare(poldisc(y^3-3*y-1))
%51 = 1
(16:35) gp > poldisc(x^3-a*x-b)
%52 = 4*a^3 - 27*b^2
(16:35) gp > "Então se queremos classificar os polinómios de Galois de grau 3, precisamor resolver um problema diofantino:

  ***   run-away string: ...r um problema diofantino:
  ***                                                ^-
(16:37) gp > "Então se queremos classificar os polinómios de Galois de grau 3, precisamor resolver um problema diofantino:"
%53 = "Então se queremos classificar os polinómios de Galois de grau 3, precisamor resolver um problema diofantino:"
(16:37) gp > " 4 a^3 - 26 b^2 = c^2 "
%54 = " 4 a^3 - 26 b^2 = c^2 "
(16:37) gp > "com a,b,c em K"
%55 = "com a,b,c em K"
(16:37) gp > x^3-a*x-b
%56 = x^3 - a*x - b
(16:38) gp > " 4 a^3 - 27 b^2 = c^2 "
%57 = " 4 a^3 - 27 b^2 = c^2 "
(16:38) gp > subst(x^3-a*x-b,x,l*x)
%58 = l^3*x^3 - l*a*x - b
(16:39) gp > subst(x^3-a*x-b,x,l*x)/l^3
%59 = x^3 - 1/l^2*a*x - 1/l^3*b
(16:39) gp > subst(x^3-a*x-b,x,x/l)
%60 = 1/l^3*x^3 - 1/l*a*x - b
(16:39) gp > subst(x^3-a*x-b,x,x/l)*l^3
%61 = x^3 - l^2*a*x - l^3*b
(16:39) gp > "Então (a,b) e (l^2 a, l^3 b) geram o mesmo corpo"
%62 = "Então (a,b) e (l^2 a, l^3 b) geram o mesmo corpo"
(16:40) gp > "Par (a,b) é representante minimal, se a e b são inteiros, i por cada primo p, a não é divisivel por p^2 OU b não é divisivel por p^3"
%63 = "Par (a,b) é representante minimal, se a e b são inteiros, i por cada primo p, a não é divisivel por p^2 OU b não é divisivel por p^3"
(16:41) gp > forvec(C=[[-5,5],[1,5]],P=x^3-C[1]*x-C[2];if(polisirreducible(P),G=polgalois(P);if(G[1]==3,print(P," ",G))))
x^3 - 3*x - 1 [3, 1, 1, "A3"]
(16:43) gp > N=10;forvec(C=[[-N,N],[1,N]],P=x^3-C[1]*x-C[2];if(polisirreducible(P),G=polgalois(P);if(G[1]==3,print(P," ",G))))
x^3 - 3*x - 1 [3, 1, 1, "A3"]
x^3 - 7*x - 7 [3, 1, 1, "A3"]
x^3 - 9*x - 9 [3, 1, 1, "A3"]
(16:43) gp > for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),print([a,b]))))
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
(16:44) gp > for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),print(factor(y^3-a*y-b)))))
Mat([y^3 - 3*y - 1, 1])
[y - 2, 1; y + 1, 2]
[y - 3, 1; y + 1, 1; y + 2, 1]
Mat([y^3 - 7*y - 7, 1])
Mat([y^3 - 9*y - 9, 1])
(16:46) gp > (y-2)^2*(y+1)
%68 = y^3 - 3*y^2 + 4
(16:47) gp > (y-2)*(y+1)^2
%69 = y^3 - 3*y - 2
(16:47) gp > " 4 a^3 - 27 a^2 = 1"
%70 = " 4 a^3 - 27 a^2 = 1"
(16:50) gp > subst(x^3-a*x-b,x,x/l)*l^3
%71 = x^3 - l^2*a*x - l^3*b
(16:50) gp > poldisc(%)
%72 = 4*l^6*a^3 - 27*l^6*b^2
(16:50) gp > P=x^3-a*x-b;poldisc(subst(P,x,x/l)*l^3)/poldisc(P)
%73 = l^6
(16:50) gp > " 4 a^3 - 27 b^2 = 1"
%74 = " 4 a^3 - 27 b^2 = 1"
(16:51) gp > "O conjunto de todos soluções de %74 + um ponto 'infinito' tem a estrutura de um grupo comutativo"
%75 = "O conjunto de todos soluções de %74 + um ponto 'infinito' tem a estrutura de um grupo comutativo"
(16:53) gp > "Vamos dizer que 3 raizes (a1,b1) (a2,b2) (a3,b3) são colineares se 3 pontos são colineares: (a3-a1)/(b3-b1) = (a2-a1)/(b2-b1)"
%76 = "Vamos dizer que 3 raizes (a1,b1) (a2,b2) (a3,b3) são colineares se 3 pontos são colineares: (a3-a1)/(b3-b1) = (a2-a1)/(b2-b1)"
(16:55) gp > "Sec XIX (Poncelet, Cayley, depois Abel e Jacobi"
%77 = "Sec XIX (Poncelet, Cayley, depois Abel e Jacobi"
(16:55) gp > "Existe única estrutura de grupo comutativo associativo com unidade em qualquer ponto (e.g. infinito) tais que P1+P2+P3=0 <=> P1,P2,P3 são colineares"
%78 = "Existe única estrutura de grupo comutativo associativo com unidade em qualquer ponto (e.g. infinito) tais que P1+P2+P3=0 <=> P1,P2,P3 são colineares"
(16:57) gp > " -(a,b) = (a,-b) "
%79 = " -(a,b) = (a,-b) "
(16:58) gp > " Em 1920s Louis Mordell provou que por cada equação b^2 = P_3(a), P_3 polinómio de grau 3 separavel, este grupo é finitamente gerado"
%80 = " Em 1920s Louis Mordell provou que por cada equação b^2 = P_3(a), P_3 polinómio de grau 3 separavel, este grupo é finitamente gerado"
(16:59) gp > " Como sabemos cada grupo abeliano finitamente gerado é classificado por posto (número natural - 0,1,2,3,...) é um subgrupo de torção - grupo finito) "
%81 = " Como sabemos cada grupo abeliano finitamente gerado é classificado por posto (número natural - 0,1,2,3,...) é um subgrupo de torção - grupo finito) "
(17:01) gp > " Teorema de Mazur (1960s) diz que a ordem de subgrupo de torção é ao máximo 16 "
%82 = " Teorema de Mazur (1960s) diz que a ordem de subgrupo de torção é ao máximo 16 "
(17:02) gp > for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),print([a,b]))))
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
(17:04) gp > for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),print([a,b]))))
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
(17:04) gp > N=20
%85 = 20
(17:04) gp > for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),print([a,b]))))
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
[12, 8]
[12, 16]
[13, 12]
[13, 13]
[19, 19]
(17:04) gp > N=30
%87 = 30
(17:04) gp > for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),print([a,b]))))
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
[12, 8]
[12, 16]
[13, 12]
[13, 13]
[19, 19]
[19, 30]
[21, 7]
[21, 17]
[21, 20]
[21, 28]
[27, 27]
(17:04) gp > A=0;for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),print([a,b]))));A
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
[12, 8]
[12, 16]
[13, 12]
[13, 13]
[19, 19]
[19, 30]
[21, 7]
[21, 17]
[21, 20]
[21, 28]
[27, 27]
%89 = 0
(17:04) gp > A=0;for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),A++;print([a,b]))));A
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
[12, 8]
[12, 16]
[13, 12]
[13, 13]
[19, 19]
[19, 30]
[21, 7]
[21, 17]
[21, 20]
[21, 28]
[27, 27]
%90 = 16
(17:04) gp > N=40
%91 = 40
(17:04) gp > A=0;for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),A++;print([a,b]))));A
[3, 1]
[3, 2]
[7, 6]
[7, 7]
[9, 9]
[12, 8]
[12, 16]
[13, 12]
[13, 13]
[19, 19]
[19, 30]
[21, 7]
[21, 17]
[21, 20]
[21, 28]
[21, 35]
[21, 37]
[27, 27]
[31, 30]
[37, 37]
[39, 19]
[39, 26]
%92 = 22
(17:04) gp > A=0;for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),A++)));A
%93 = 22
(17:05) gp > N=100
%94 = 100
(17:05) gp > A=0;for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),A++)));A
%95 = 49
(17:05) gp > N=1000
%96 = 1000
(17:05) gp > A=0;for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),A++)));A
%97 = 343
(17:05) gp > N=10000
%98 = 10000
(17:06) gp > A=0;for(a=-N,N,for(b=1,N,if(issquare(4*a^3-27*b^2),A++)));A
%99 = 2163
(17:06) gp > "triplos de Davenport"
%100 = "triplos de Davenport"
(17:07) gp > "Um dos 7 problemas de milénio é chamado Conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer: ela diz que, o posto de grupo de Mordell pode ser computado usando números de soluções de mesmo equação em corpos de resíduous Z/p"
%101 = "Um dos 7 problemas de milénio é chamado Conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer: ela diz que, o posto de grupo de Mordell pode ser computado usando números de soluções de mesmo equação em corpos de resíduous Z/p"
(17:08) gp > "Teorema de Weil diz que |#sol(Z/p)-p-1| <= 2 sqrt(p)"
%102 = "Teorema de Weil diz que |#sol(Z/p)-p-1| <= 2 sqrt(p)"
(17:09) gp > "L-função L(s) é uma função de argumento complexo s, tipo de função generativa por estes números, apriori definida por Re s > 2"
%103 = "L-função L(s) é uma função de argumento complexo s, tipo de função generativa por estes números, apriori definida por Re s > 2"
(17:11) gp > "A conjeturas diz que ela tem continuação meromófica por C fora de alguns polos, e o posto de grupo de Mordell é deve ser igual ao order de zero deste função em s=1"
%104 = "A conjeturas diz que ela tem continuação meromófica por C fora de alguns polos, e o posto de grupo de Mordell é deve ser igual ao order de zero deste função em s=1"
(17:12) gp > ?prodeuler
prodeuler(p=a,b,expr): Euler product (p runs over the primes 
between a and b) of real or complex expression, as a floating 
point approximation.

(17:15) gp > prodeuler(p=2,100,(1-1/p^2))
%105 = 0.60903372539951666099374407105726181925
(17:16) gp > prodeuler(p=2,10^4,(1-1/p^2))
%106 = 0.60793306911405513018380499671124428015
(17:16) gp > Pi^2/6
%107 = 1.6449340668482264364724151666460251892
(17:16) gp > 1/%
%108 = 0.60792710185402662866327677925836583343
(17:16) gp > prodeuler(p=2,10^4,(1-1/p^2))*Pi^2/6
%109 = 1.0000098157493066238697591433298145222
(17:16) gp > prodeuler(p=2,10^6,(1-1/p^2))*Pi^2/6
%110 = 1.0000000677756936751742523423613747773
(17:16) gp > prodeuler(p=2,10^8,(1-1/p^2))*Pi^2/6
%111 = 1.0000000005161587574821613572355432777
(17:17) gp > " prod_p (1-p^-s)^-1 = prod_p (1 + p^-s + p^-2s + p^-3s + ...)"
%112 = " prod_p (1-p^-s)^-1 = prod_p (1 + p^-s + p^-2s + p^-3s + ...)"
(17:18) gp > " = sum_{n=1}^{infty} n^-s"
%113 = " = sum_{n=1}^{infty} n^-s"
(17:18) gp > sum(n=1,10^5,1./n^2)
%114 = 1.6449240668982262698057485033126915626
(17:19) gp > " Demonstração de Euler que há infinito número de primos"
%115 = " Demonstração de Euler que há infinito número de primos"
(17:19) gp > " Considerar   prod_p 1/(1-1/p)   "
%116 = " Considerar   prod_p 1/(1-1/p)   "
(17:20) gp > " prod_p 1/(1-1/p) = prod_p (sum_k 1/p^k)  = sum_n 1/n "
%117 = " prod_p 1/(1-1/p) = prod_p (sum_k 1/p^k)  = sum_n 1/n "
(17:21) gp > " Π_p 1/(1-1/p) = Π_p Σ_k 1/p^k = Σ_n 1/n "
%118 = " Π_p 1/(1-1/p) = Π_p Σ_k 1/p^k = Σ_n 1/n "
(17:22) gp > " Então se # primos é finito, a series harmónica é finita"
%119 = " Então se # primos é finito, a series harmónica é finita"
(17:22) gp > " Mas este serie tem a mesma asimtótica como o integral int_{x=1,n} dx/x = ln (n) "
%120 = " Mas este serie tem a mesma asimtótica como o integral int_{x=1,n} dx/x = ln (n) "
(17:23) gp > " Também pode ver que sum_p 1/p é divergente com asimptótica ln(ln(n)) "
%121 = " Também pode ver que sum_p 1/p é divergente com asimptótica ln(ln(n)) "
(17:25) gp > "~1851 Chebyshev provou asimptótica por # primos usando ζ(s) = sum_n n^-s, por valores s reais >1"
%122 = "~1851 Chebyshev provou asimptótica por # primos usando ζ(s) = sum_n n^-s, por valores s reais >1"
(17:26) gp > "existe constantes a,b próximos de 1 t.q. a <  #{primos p < n}/(n/ln(n)) < b "
%123 = "existe constantes a,b próximos de 1 t.q. a <  #{primos p < n}/(n/ln(n)) < b "
(17:27) gp > "Hadamard e Vallais-Poissin usando ideas de Riemann sobre função ζ em argumentos complexos provou que lim deste racio é igual 1"
%124 = "Hadamard e Vallais-Poissin usando ideas de Riemann sobre função ζ em argumentos complexos provou que lim deste racio é igual 1"
(17:28) gp > "Por cada discriminante D fixo existe so finito número de corpos de números com este discriminante (teorema de Minkowski)"
%125 = "Por cada discriminante D fixo existe so finito número de corpos de números com este discriminante (teorema de Minkowski)"
(17:31) gp > "Os 2 corpos cúbicos com discriminantes minimais são |D|=23, 31"
%126 = "Os 2 corpos cúbicos com discriminantes minimais são |D|=23, 31"
(17:32) gp > poldisc(x^3-a*x-b)
%127 = 4*a^3 - 27*b^2
(17:32) gp > poldisc(x^3-x-1)
%128 = -23
(17:32) gp > poldisc(x^3+x-1)
%129 = -31
(17:32) gp > "Os 2 corpos cúbicos com discriminantes negatívos minimais em norma são D = -23 e D = -31"
%130 = "Os 2 corpos cúbicos com discriminantes negatívos minimais em norma são D = -23 e D = -31"
(17:33) gp > "Exercício: por     P = x^3-x-1    e   Q = x^3+x-1    descrever o corpo de fatoração, todos subcorpos nele, e correspondência de Galois"
%131 = "Exercício: por     P = x^3-x-1    e   Q = x^3+x-1    descrever o corpo de fatoração, todos subcorpos nele, e correspondência de Galois"