Re: [obm-l] Funções Help !!

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá Kleber,

a) 
Ida: Suponha que f não seja sobrejetiva. Então, #Im(f) < #X, isto é, existe w E X, tal que nao existe a E X, com f(a) = x. Deste modo, temos #D(f) = n e #Im(f) < n. Pelo princípio da casa dos pombos, tem que existir r, s E X, tal que f(r) = f(s). Absurdo, pois f é injetiva. (cqd)

Volta: Suponha que f não seja injetiva. Então, existe a, b, E X, tal que f(a) = f(b). Deste modo, temos que #Im(f) < #X, pois #D(f) = n, e 2 deles tem mesma imagem. Mas #Im(f) < #X implica que f não pode ser sobrejetiva. Absurdo. (cqd).

b)
Não.
Para a ida, veja que f: N --> N, f(x) = x+1 é injetiva, mas não é sobrejetiva.
Para a volta, veja f: Z --> Z, f(x) = x^2 é sobrejetiva, mas não é injetiva.

abraços,
Salhab

2008/4/24 Kleber Bastos <kleber09@xxxxxxxxx>:

Estou com dúvida na seguinte questão :

 

(a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X --> X é injetiva se somente se é sobrejetiva.

 

(b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta.

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Kleber B. Bastos