On 4/24/08, Kleber Bastos <kleber09@xxxxxxxxx> wrote:
Estou com dúvida na seguinte questão :
(a) Mostre que se X é um conjunto finito então uma função f: X --> X é injetiva se somente se é sobrejetiva.
Como X é um conjunto finito ele possui um número de elementos n, onde n está no conjunto dos naturais, e como uma função é sobrejetiva quando sua imagem é igual ao contradomínio, temos nesse caso que X seria a imagem e o próprio contradomínio. Assim, sendo f uma função sobrejetiva e uma aplicação de X a X, todo elemento de X está relacionado a apenas um único elemento do conjunto X (por definição de função), fazendo desse modo todo elemento de X fazer parte da imagem uma única vez, ou seja, a função é injetiva, onde função injetiva seria cada elemento do domínio, conjunto X, se relacionar com um elemento que não está relacionado a nenhum outro do contradomínio.
(b) O resultado do item anterior também é válido se X é um conjunto infinito ? JUstifique sua resposta.
Como o conjunto é infinito pode-se ter 2 elementos distintos do domínio se relacionando com o mesmo elemento da imagem e ainda assim a função ser sobrejetiva com a imagem igual ao contradomínio, já que existem infinitos elementos no conjunto. Portanto, acredito que para um conjunto infinito a função f não seria injetiva embora seja sobrejetiva.
--
Kleber B. Bastos