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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
O difícil desse argumento é a famosa "convergência uniforme". Eu acho
(como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está
certo, um pouco pelo fato de "parecer meio roubado" pegar o limite
assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco
acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos
"importantes" da soma estão "no meio" da série... e a gente truncou !
Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma
prova de que a resposta é 1/2 !!!!) :
Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o
n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e
a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e
a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1).
Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira
mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica :
(1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)
+ ...
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )
+ (1 - 1/n )
+ 1 + 1 ( os "termos do meio" n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! )
+ (1 - 1/(n+1) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )
+ (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) )
+ ...
Note que quando n -> inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra
1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os "de baixo" convergem para
os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar
isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha
perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos
"depois" aos termos "antes" do meio e com isso "dá pra ver" que na
verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para
e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da
convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a
soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma
PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo "depois", mas veja que
tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar
errado com n -> infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como
os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple
/ mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em
torno!)
Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do "meio da série" ?
Rogério : passo a bola pra você me convencer !
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2008/4/5 Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>:
> Oi Marcelo,
> quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
> Nehab tambem vai :-)
>
> Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.
>
> A questao original e' calcular
>
> lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>
> Repare que o segundo fator corresponde aos "n" primeiros termos da
> expansao de Taylor para "e^n".
>
> O que eu sustento e' que, quando "n" vai para infinito, o segundo
> fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para "e^n". E neste
> ponto, tanto faz que o "n" desse tal fator "e^n" esteja no infinito ou
> nao, porque ele se anula com o "-n" do primeiro fator e^(-n).
>
> Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
> simplesmente porque "aquele" segundo termo alcancou o valor de e^n.
>
> Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
> apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
> estabeleco que o limite vale 1.
>
> Grande abraco,
> Rogerio Ponce.
>
>
>
> Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato<msbrogli@xxxxxxxxx> escreveu:
>
>
> > Olá Ponce, quanto tempo...
> >
> > eu penso um pouco diferente, vejamos:
> >
> > e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
> > não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
> >
> > vejamos:
> > 1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
> >
> > lim {x->inf} e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
> >
> > lim {x->inf} lim {u->inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
> >
> > vou chamar x de n, entao:
> > 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
> >
> > ou então:
> > 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
> >
> > agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
> > lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
> > {n->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
> >
> > se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
> >
> > abraços,
> > Salhab
> >
> >
> >
> > 2008/4/4 Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>:
> >
> > > Oi Artur,
> > > minha conclusao e' que vale o mesmo que
> > > e^(-n) * e^(n) = 1.
> > > []'s
> > > Rogerio Ponce
> > >
> > >
> > >
> > > Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> > >
> > >
> > >
> > > > Mas como concluir que é 1/2?
> > > >
> > > > Artur
> > > >
> > > > -----Mensagem original-----
> > > > De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
> > > > nome de Rogerio Ponce
> > > >
> > > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
> > > >
> > > > Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > > > Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > > > (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > > >
> > > >
> > > > Ola' Artur,
> > > > acho que e' mais simples que voce imagina.
> > > > O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
> > > > E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
> > > > aproxima da expansao de Taylor.
> > > > No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
> > expressoes.
> > > > []'s
> > > > Rogerio Ponce
> > > >
> > > >
> > > > Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> > > > > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
> > x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
> > =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
> > termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
> > complicado.
> > > > >
> > > > > Artur
> > > > >
> > > > >
> > > > > -----Mensagem original-----
> > > > > De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
> > > > > nome de Rogerio Ponce
> > > > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
> > > > > Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > > > > Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > > > > (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Oi Artur,
> > > > > a expansao de Taylor para e^n vale
> > > > > e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
> > > > > Assim, esse limite deve ser igual a 1.
> > > > > []'s
> > > > > Rogerio Ponce
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
> > soluções,
> > > > > > mas não deu certo.
> > > > > >
> > > > > > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
> > integral, mas não
> > > > > > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
> > aplicar o
> > > > > > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
> > Também não
> > > > > > consegui ver como.
> > > > > >
> > > > > > Alguem tem alguma sugestao?
> > > > > >
> > > > > > Abracos
> > > > > > Artur
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