[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)
Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.
A questao original e' calcular
lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Repare que o segundo fator corresponde aos "n" primeiros termos da
expansao de Taylor para "e^n".
O que eu sustento e' que, quando "n" vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para "e^n". E neste
ponto, tanto faz que o "n" desse tal fator "e^n" esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o "-n" do primeiro fator e^(-n).
Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque "aquele" segundo termo alcancou o valor de e^n.
Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.
Grande abraco,
Rogerio Ponce.
Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato<msbrogli@xxxxxxxxx> escreveu:
> Olá Ponce, quanto tempo...
>
> eu penso um pouco diferente, vejamos:
>
> e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
> não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
>
> vejamos:
> 1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
> lim {x->inf} e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
> lim {x->inf} lim {u->inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
> vou chamar x de n, entao:
> 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
>
> ou então:
> 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
>
> agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
> lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
> {n->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
>
> se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2008/4/4 Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>:
>
> > Oi Artur,
> > minha conclusao e' que vale o mesmo que
> > e^(-n) * e^(n) = 1.
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> >
> >
> >
> > > Mas como concluir que é 1/2?
> > >
> > > Artur
> > >
> > > -----Mensagem original-----
> > > De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
> > > nome de Rogerio Ponce
> > >
> > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
> > >
> > > Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > > Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > > (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > >
> > >
> > > Ola' Artur,
> > > acho que e' mais simples que voce imagina.
> > > O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
> > > E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
> > > aproxima da expansao de Taylor.
> > > No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
> expressoes.
> > > []'s
> > > Rogerio Ponce
> > >
> > >
> > > Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> > > > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
> x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
> =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
> termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
> complicado.
> > > >
> > > > Artur
> > > >
> > > >
> > > > -----Mensagem original-----
> > > > De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
> > > > nome de Rogerio Ponce
> > > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
> > > > Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > > > Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > > > (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Oi Artur,
> > > > a expansao de Taylor para e^n vale
> > > > e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
> > > > Assim, esse limite deve ser igual a 1.
> > > > []'s
> > > > Rogerio Ponce
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
> soluções,
> > > > > mas não deu certo.
> > > > >
> > > > > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
> integral, mas não
> > > > > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
> aplicar o
> > > > > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
> Também não
> > > > > consegui ver como.
> > > > >
> > > > > Alguem tem alguma sugestao?
> > > > >
> > > > > Abracos
> > > > > Artur
> > > >
> > > >
> > > >
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================