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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)



Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)

Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.

A questao original e' calcular
 lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

Repare que o segundo fator corresponde aos "n" primeiros termos da
expansao de Taylor para "e^n".

O que eu sustento e' que, quando "n" vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para "e^n". E neste
ponto, tanto faz que o "n" desse tal fator "e^n" esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o "-n" do primeiro fator e^(-n).

Em outras palavras, a expressao valera'  e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque "aquele" segundo termo alcancou o valor de e^n.

Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.

Grande abraco,
Rogerio Ponce.



Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato<msbrogli@xxxxxxxxx> escreveu:
> Olá Ponce, quanto tempo...
>
> eu penso um pouco diferente, vejamos:
>
> e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
> não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
>
>  vejamos:
> 1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
> lim {x->inf} e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
> lim {x->inf} lim {u->inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
>  vou chamar x de n, entao:
> 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
>
> ou então:
> 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
>
> agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
>  lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
> {n->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
>
> se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
>
>  abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2008/4/4 Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>:
>
> > Oi Artur,
> > minha conclusao e'  que vale o mesmo que
> > e^(-n) * e^(n) = 1.
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> >
> >
> >
> > > Mas como concluir que é 1/2?
> > >
> > > Artur
> > >
> > >  -----Mensagem original-----
> > >  De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
> > >  nome de Rogerio Ponce
> > >
> > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
> > >
> > > Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > >
> > >
> > >  Ola' Artur,
> > >  acho que e' mais simples que voce imagina.
> > >  O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
> > >  E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
> > >  aproxima da expansao de Taylor.
> > >  No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
> expressoes.
> > >  []'s
> > >  Rogerio Ponce
> > >
> > >
> > >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> > >  > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
> x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
> =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
> termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
> complicado.
> > >  >
> > >  >  Artur
> > >  >
> > >  >
> > >  >  -----Mensagem original-----
> > >  >  De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
> > >  >  nome de Rogerio Ponce
> > >  >  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
> > >  >  Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > >  >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > >  >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > >  >
> > >  >
> > >  >
> > >  >  Oi Artur,
> > >  >  a expansao de Taylor para e^n vale
> > >  >  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
> > >  >  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
> > >  >  []'s
> > >  >  Rogerio Ponce
> > >  >
> > >  >
> > >  >
> > >  >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
> > >  >  >
> > >  >  >
> > >  >  >
> > >  >  >
> > >  >  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
> soluções,
> > >  >  > mas não deu certo.
> > >  >  >
> > >  >  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
> integral, mas não
> > >  >  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
> aplicar o
> > >  >  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
> Também não
> > >  >  > consegui ver como.
> > >  >  >
> > >  >  > Alguem tem alguma sugestao?
> > >  >  >
> > >  >  > Abracos
> > >  >  > Artur
> > >  >
> > >  >
> > >  >

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