RES: [obm-l] Problema com polinômios

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que

 

Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e 

 

Q(k)  = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2.  Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8.

 

Accho que estah certo.

 

[Artur Costa Steiner] 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios

Olá Igor,

estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!)

p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n

vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8
onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois.
deste modo:
p(a) = 5 = a_n (mod a)
p(b) = 5 = a_n (mod b)
p(c) = 5 = a_n (mod c)
p(d) = 5 = a_n (mod d)
p(k) = 8 = a_n (mod k)

pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos..
então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio!

qual o erro nesta idéia? não encontrei...

abraços,
Salhab

2008/1/12 Igor Battazza <battazza@xxxxxxxxx>:

Olá pessoal,
estou com dúvidas na seguinte questão:

Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado
que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) =
p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) =
8.

Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso.

Obrigado,
Igor.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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