Oi, Arthur,
Acho que podem existir outras raízes e, como conseqüência, Q(x) = (x
-a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x), onde o polinômio quociente T(x) não seria
identicamente igual a 1... Confesso que dei uma tentada por ai mas
empaquei, pois não achei contra exemplo nem tampouco provei que T(k) seria inteiro... Onde será que estou voando?
Abração,
Nehab
Artur Costa Steiner escreveu:
Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um
polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes,
distintas 2 a 2. Segue-se que
Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) =
8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e
Q(k) = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k
eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica
que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2. Mas isto é impossivel, pois 3 eh
primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8.
Accho que estah certo.
[Artur Costa Steiner]
Olá Igor,
estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito
de se encontrar uma demonstração.. hehe!)
p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n
vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8
onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois.
deste modo:
p(a) = 5 = a_n (mod a)
p(b) = 5 = a_n (mod b)
p(c) = 5 = a_n (mod c)
p(d) = 5 = a_n (mod d)
p(k) = 8 = a_n (mod k)
pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e
g(k) estão definidos..
então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do
polinômio!
qual o erro nesta idéia? não encontrei...
abraços,
Salhab
2008/1/12 Igor Battazza < battazza@xxxxxxxxx>:
Olá pessoal,
estou com dúvidas na seguinte questão:
Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado
que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) =
p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) =
8.
Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso.
Obrigado,
Igor.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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