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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema com polinômios



Oi,  gente

Eu não tinha visto a solução do Shine.  O Briot Ruffini era o que me faltava...

Abraços,
Nehab

Carlos Yuzo Shine escreveu:
Oi gente,

O enunciado está certo sim. Só lembrando o enunciado:

Seja P(x) um polinômio mônico (coeficiente no termo de
maior grau 1) com coeficientes inteiros. Sabe-se que
existem quatro inteiros distintos a, b, c e d tais que
P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 5. Mostre que não existe
inteiro k tal que P(k) = 8.

Vamos à resolução: Seja Q(x) = P(x) - 5. Então a, b, c
e d são raízes de Q, de modo que Q(x) =
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)R(x), sendo que o polinômio R(x)
tem coeficientes inteiros também (isso decorre do
algoritmo de Briot-Ruffini: nunca dividimos no meio do
algoritmo, então todos os resultados são inteiros).

Suponha que existe k inteiro tal que P(k) = 8, que é o
mesmo que Q(k) = 3. Então
  3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)R(x)

Note que, como a, b, c e d são inteiros distintos,
k-a, k-b, k-c e k-d são inteiros distintos também.
Então 3 deve ser escrito como o produto de pelo menos
quatro números inteiros distintos, o que não é
possível, pois 3 tem quatro divisores distintos (-3,
-1, 1, 3), cujo produto infelizmente não é 3. Absurdo,
então o problema está resolvido.

Note que se fossem 3 inteiros a,b,c no lugar de
a,b,c,d, seria possível construir P(x). De fato,
fazendo as mesmas contas (sem o d, claro) obtemos
  3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)R(x)
e podemos tomar k-a = -3, k-b = -1 e k-c = 1. Tomando
k=0, temos a = 3, b = 1 e c = -1. Tomando ainda R(x) =
1, obtemos
  Q(x) = (x-3)(x-1)(x+1) = x^3 - 3x^2 - x + 3
ou, mudando para P(x),
  P(x) = Q(x) + 5 = x^3 - 3x^2 - x + 8.

Temos P(3) = P(1) = P(-1) = 5 (verifique!) e P(0) = 8.

Você conseguiria encontrar *todos* os polinômios P(x)
desse novo problema?

[]'s
Shine

--- Rafael Cano <rafaelcano@xxxxxxxxxxxxx> wrote:

  
Olá Salhab,
Não entendi muito bem...
As congruências que você usou saem do teorema das
raizes racionais certo?
Mas por que elas valem para os outros coeficientes?
E esse método não vai acabar num coeficiente
diferente de 1 para x^n?

abraços
  ----- Original Message ----- 
  From: Marcelo Salhab Brogliato 
  To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx 
  Sent: Monday, January 14, 2008 9:22 AM
  Subject: Re: [obm-l] Problema com polinômios


  Olá Igor,

  estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra
mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma
demonstração.. hehe!)

  p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
a_(n-1)*x + a_n

  vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e
p(k) = 8 
  onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a
dois.
  deste modo:
  p(a) = 5 = a_n (mod a)
  p(b) = 5 = a_n (mod b)
  p(c) = 5 = a_n (mod c)
  p(d) = 5 = a_n (mod d)
  p(k) = 8 = a_n (mod k)

  pelo teorema chines do resto, conseguimos
determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
  fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a),
g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos..
  então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
  seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos
os coeficientes do polinômio! 

  qual o erro nesta idéia? não encontrei...

  abraços,
  Salhab







  2008/1/12 Igor Battazza <battazza@xxxxxxxxx>:

    Olá pessoal,
    estou com dúvidas na seguinte questão:

    Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) +
a_2*x^(n-2) + ... + 
    a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1,
a_2, ..., a_n, e dado
    que também existem 4 inteiros distintos a, b, c
e d tal que p(a) =
    p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe
inteiro k tal que p(k) =
    8. 

    Não consigo pensar em nenhuma restrição que
implique nisso.

    Obrigado,
    Igor.

   

    
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usar a lista em 
    http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
   

    
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