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Oi, gente Eu não tinha visto a solução do Shine. O Briot Ruffini era o que me faltava... Abraços, Nehab Carlos Yuzo Shine escreveu: ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================Oi gente, O enunciado está certo sim. Só lembrando o enunciado: Seja P(x) um polinômio mônico (coeficiente no termo de maior grau 1) com coeficientes inteiros. Sabe-se que existem quatro inteiros distintos a, b, c e d tais que P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 5. Mostre que não existe inteiro k tal que P(k) = 8. Vamos à resolução: Seja Q(x) = P(x) - 5. Então a, b, c e d são raízes de Q, de modo que Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)R(x), sendo que o polinômio R(x) tem coeficientes inteiros também (isso decorre do algoritmo de Briot-Ruffini: nunca dividimos no meio do algoritmo, então todos os resultados são inteiros). Suponha que existe k inteiro tal que P(k) = 8, que é o mesmo que Q(k) = 3. Então 3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)R(x) Note que, como a, b, c e d são inteiros distintos, k-a, k-b, k-c e k-d são inteiros distintos também. Então 3 deve ser escrito como o produto de pelo menos quatro números inteiros distintos, o que não é possível, pois 3 tem quatro divisores distintos (-3, -1, 1, 3), cujo produto infelizmente não é 3. Absurdo, então o problema está resolvido. Note que se fossem 3 inteiros a,b,c no lugar de a,b,c,d, seria possível construir P(x). De fato, fazendo as mesmas contas (sem o d, claro) obtemos 3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)R(x) e podemos tomar k-a = -3, k-b = -1 e k-c = 1. Tomando k=0, temos a = 3, b = 1 e c = -1. Tomando ainda R(x) = 1, obtemos Q(x) = (x-3)(x-1)(x+1) = x^3 - 3x^2 - x + 3 ou, mudando para P(x), P(x) = Q(x) + 5 = x^3 - 3x^2 - x + 8. Temos P(3) = P(1) = P(-1) = 5 (verifique!) e P(0) = 8. Você conseguiria encontrar *todos* os polinômios P(x) desse novo problema? []'s Shine --- Rafael Cano <rafaelcano@xxxxxxxxxxxxx> wrote:Olá Salhab, Não entendi muito bem... As congruências que você usou saem do teorema das raizes racionais certo? Mas por que elas valem para os outros coeficientes? E esse método não vai acabar num coeficiente diferente de 1 para x^n? abraços ----- Original Message ----- From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx Sent: Monday, January 14, 2008 9:22 AM Subject: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza <battazza@xxxxxxxxx>: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor.========================================================================= |