[SPAM] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema com polinômios

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

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Oi gente,

O enunciado está certo sim. Só lembrando o enunciado:

Seja P(x) um polinômio mônico (coeficiente no termo de
maior grau 1) com coeficientes inteiros. Sabe-se que
existem quatro inteiros distintos a, b, c e d tais que
P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 5. Mostre que não existe
inteiro k tal que P(k) = 8.

Vamos à resolução: Seja Q(x) = P(x) - 5. Então a, b, c
e d são raízes de Q, de modo que Q(x) =
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)R(x), sendo que o polinômio R(x)
tem coeficientes inteiros também (isso decorre do
algoritmo de Briot-Ruffini: nunca dividimos no meio do
algoritmo, então todos os resultados são inteiros).

Suponha que existe k inteiro tal que P(k) = 8, que é o
mesmo que Q(k) = 3. Então
  3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)R(x)

Note que, como a, b, c e d são inteiros distintos,
k-a, k-b, k-c e k-d são inteiros distintos também.
Então 3 deve ser escrito como o produto de pelo menos
quatro números inteiros distintos, o que não é
possível, pois 3 tem quatro divisores distintos (-3,
-1, 1, 3), cujo produto infelizmente não é 3. Absurdo,
então o problema está resolvido.

Note que se fossem 3 inteiros a,b,c no lugar de
a,b,c,d, seria possível construir P(x). De fato,
fazendo as mesmas contas (sem o d, claro) obtemos
  3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)R(x)
e podemos tomar k-a = -3, k-b = -1 e k-c = 1. Tomando
k=0, temos a = 3, b = 1 e c = -1. Tomando ainda R(x) =
1, obtemos
  Q(x) = (x-3)(x-1)(x+1) = x^3 - 3x^2 - x + 3
ou, mudando para P(x),
  P(x) = Q(x) + 5 = x^3 - 3x^2 - x + 8.

Temos P(3) = P(1) = P(-1) = 5 (verifique!) e P(0) = 8.

Você conseguiria encontrar *todos* os polinômios P(x)
desse novo problema?

[]'s
Shine

--- Rafael Cano <rafaelcano@xxxxxxxxxxxxx> wrote:

> Olá Salhab,
> Não entendi muito bem...
> As congruências que você usou saem do teorema das
> raizes racionais certo?
> Mas por que elas valem para os outros coeficientes?
> E esse método não vai acabar num coeficiente
> diferente de 1 para x^n?
> 
> abraços
>   ----- Original Message ----- 
>   From: Marcelo Salhab Brogliato 
>   To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx 
>   Sent: Monday, January 14, 2008 9:22 AM
>   Subject: Re: [obm-l] Problema com polinômios
> 
> 
>   Olá Igor,
> 
>   estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra
> mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma
> demonstração.. hehe!)
> 
>   p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
> a_(n-1)*x + a_n
> 
>   vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e
> p(k) = 8 
>   onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a
> dois.
>   deste modo:
>   p(a) = 5 = a_n (mod a)
>   p(b) = 5 = a_n (mod b)
>   p(c) = 5 = a_n (mod c)
>   p(d) = 5 = a_n (mod d)
>   p(k) = 8 = a_n (mod k)
> 
>   pelo teorema chines do resto, conseguimos
> determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
>   fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a),
> g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos..
>   então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
>   seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos
> os coeficientes do polinômio! 
> 
>   qual o erro nesta idéia? não encontrei...
> 
>   abraços,
>   Salhab
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
>   2008/1/12 Igor Battazza <battazza@xxxxxxxxx>:
> 
>     Olá pessoal,
>     estou com dúvidas na seguinte questão:
> 
>     Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) +
> a_2*x^(n-2) + ... + 
>     a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1,
> a_2, ..., a_n, e dado
>     que também existem 4 inteiros distintos a, b, c
> e d tal que p(a) =
>     p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe
> inteiro k tal que p(k) =
>     8. 
> 
>     Não consigo pensar em nenhuma restrição que
> implique nisso.
> 
>     Obrigado,
>     Igor.
> 
>    
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