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Eh, tem toda a razao, pode haver outras raizes. Obrigado pela correcao.
Mas creio que dah para aproveitar o raciocinio anterior.
Temos que Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x).
O polinomio (x -a)(x - b)(x -c)(x - d) eh monico e tem coeficientes inteiros. Como Q tem tambem coeficientes inteiros e eh monico, o algoritmo da divisao de polinomios implica que T seja monico
e tenha coeficiente inteiros. Se p(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e
3 = (k -a)(k - b)(k -c)(k - d) T(k)
Como T(k) eh inteiro, vemos que 3 eh dado por um produto de 5 inteiros, dos quais 4 sao distintos 2 a 2. Isto implica que 3 tenha pelo menos 4 divisores, contrariando o fato de que 3 eh primo.
Agora estah certo, nao estah?
Artur
Oi, Arthur,
Acho que podem existir outras raízes e, como conseqüência, Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x), onde o polinômio quociente T(x) não seria identicamente igual a 1... Confesso que dei uma tentada por ai mas empaquei, pois não achei contra exemplo nem tampouco
provei que T(k) seria inteiro... Onde será que estou voando?
Abração,
Nehab
Artur Costa Steiner escreveu:
Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que
Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e
Q(k) = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos
2 a 2. Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8.
Accho que estah certo.
[Artur Costa Steiner]
Olá Igor,
estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!)
p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n
vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8
onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois.
deste modo:
p(a) = 5 = a_n (mod a)
p(b) = 5 = a_n (mod b)
p(c) = 5 = a_n (mod c)
p(d) = 5 = a_n (mod d)
p(k) = 8 = a_n (mod k)
pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos..
então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio!
qual o erro nesta idéia? não encontrei...
abraços,
Salhab
2008/1/12 Igor Battazza < battazza@xxxxxxxxx>:
Olá pessoal,
estou com dúvidas na seguinte questão:
Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado
que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) =
p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) =
8.
Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso.
Obrigado,
Igor.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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