Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema com polinômios

["Igor Battazza" <battazza@xxxxxxxxx>]

Em 14/01/08, Carlos Yuzo Shine<cyshine@xxxxxxxxx> escreveu:
> Bom, eu não enunciei o problema direitinho, então estava faltando P(k) = 8. Reescrevendo:
>
> Determinar todos os polinômios P(x) de coeficientes inteiros tais que existem a, b, c, k inteiros distintos tais P(a) = P(b) = P(c) = 5 e P(k) = 8.
>
> []'s
> Shine
>
Os polinomios P(x) sao do tipo P(x) = Q(x)R(x) + 5 =
(x-a)(x-b)(x-c)R(x) + 5  (@)
Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c) com a,b,c inteiros distintos divisor de 3 e
diferente de 0 (-3,-1,1,3).

Mas P(k) = 8, portanto (k-a)(k-b)(k-c)R(x) + 5 = 8 -> (k-a)(k-b)(k-c)R(x) = 3
OBS: - P(x) e' monico, logo R(x) = 1 <-> Q(k) = 3
          - Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 + (-a-b-c)x^2 + (ab + bc +
ca)x - abc (i)

Como a,b,c sao distintos, selecione um dos dois números negativos para
a, depois um positivo para b e o outro positivo para c, portanto b = 3
e c = 1, logo bc = 3 e b+c = 4 (ii).
Substituindo (ii) em (i):
Q(x) = x^3 - (a + 4)x^2 + (4a + 3)x - 3a (iii)

Com (iii), P(k) = 8 e R(x) = 1, podemos reescrever (@):
8 = (k-a)(k-b)(k-c) + 5 --> k^3 - (a + 4)k^2 + (4a + 3)k - 3a - 3 = 0
(a = -3 ou -1)

Para a = -3: k^3 - (4 - 3)k^2 + (4*(-3) + 3)k - 3*(-3) - 3 = k^3 - k^2
- 9k + 6 = 0 nao existe k inteiro.
Para a = -1: k^3 - (4 - 1)k^2 + (4(-1) + 3)k - 3(-1) - 3 = k^3 - 3k^2
- k = 0 onde k = 0 e' a unica solucao inteira.

Como apresentado no email anterior, os valores 3, 1 e -1, sao os
unicos valores para a, b e c que satisfazem o polinomio. Portanto o
unico polinomio que atende as restricoes (f(a)=f(b)=f(c)=5, a,b,c
inteiros distintos, f(k) = 8, k inteiro) é o polinomio:

P(x) = (x-1)(x+1)(x-3) + 5 = x^3 - 3*x^2 - x + 5.

Espero nao ter tropecado, ter sido coerente e nem ter errado a logica inteira :P

Obrigado,
Igor.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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