Re: [obm-l] esfera no cone

[Gustavo Henrique <gustavohsal@xxxxxxxxx>]

Emanuel Valente wrote:
> Ney Falcao wrote:
> > Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem 
> > conhecer o raio da esfera?
> >  
> > /Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio 
> > da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/.
> >  
> > Obrigado
> > Ney
> Olá Senhores, como vão?
>
> Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação 
> da semelhança de triângulos:
> http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg
>
> Dados do problema:
> H = x + r => x = 8 -r (I)
>
> Da semelhança de triângulos:
> x/r = a/R (II)
>
> De I em II:
> (8-r)/r = a/6 => a = 6(8-r)/r (III)
>
> Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior:
>
> a^2 = h^2 + R^2 => a^2 = 64 + 36 (IV)
>
> De (III) em (IV)
>
> [6(8-r)]^2 = 100r^2
> r^2 +9r -36 = 0
> x´ = 12 nao convém (r>R)
> x´´ = -3, logo r = 3
>
> Calculando os volumes:
>
> Vesf = (4/3)pi*r^3 => (4/3)*pi*3^3 => 36pi
> Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H => (1/3)*pi*(6^2)*8 = > 96
>
> Respostas: Vesfera = 36pi
>                  Vext = 96pi -16pi = 60pi
>
>
> Se estiver errado, por favor,me corrijam!
>
> Abraços a todos,
>
> Emanuel Valente
>
>
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
Emanuel, tu fizeste exatamente como fiz, através da semelhança de
triângulos: o primeiro formado pelo ponto de tangência perpendicular do
raio da esfera à geratriz do cone, o centro da esfera e o vértice do
cone; e o outro formado pelo ponto relativo ao centro da base do cone,
um dos vértices do triângulo isóceles (triângulo gerado pela secção
plana do cone) e o vértice do cone. /A priori/, tentei enxergar uma
relação de ponto notável (Coincidência dos quatro: baricentro, incentro,
circunscentro e ortocentro) e  do triângulo seccionado, mas o este, e
consecutivamente o cone, não são equiláteros; logo não é possível
aplicar qualquer proporcionalidade entre as medidas lineares (assim, o
raio da esfera seria um terço da altura do cone, o que não é verdade)
baseado nessa minha observação falha que tive inicialmente. Depois de
remoer um pouco a figura, notei que poderia fazer assim:

Eis o link da imagem que fiz no CorelDraw:
http://i35.photobucket.com/albums/d198/Gustavo_HSAL/res02.jpg

Espero ter acertado. Um grande abraço deste que vos escreve.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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