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Re: [obm-l] polinomios



Ney Falcao wrote:
Poderiam me ajudar com esta:
 
Considere a equação x³-3x²-kx+12=0
a) Determine k de modo que haja duas raízes simétricas
b)Se 1 for raiz dessa equação, quais são as outras raízes?
 
Ney
Eis a minha resolução:

a) Aplico, inicialmente, a relação de Girard em que organizo a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas:

-k = x1*x2 + x1*x3 + x2*x3

Como duas das três raízes são simétricas, chamá-las-ei de "r" e "-r". ( x1 = r e x2 = -r)

A relação fica assim:
- k = r*(-r) + r*x3 + (-r)*x3
- k = - r^2
k = r^2

Como r é raiz da equação, a seguinte igualdade é verdadeira:

r^3 - 3*r^2 - k*r + 12 = 0
Como k = r^2
r^3 - 3*r^2 - r^3 + 12 = 0
3*r^2 = 12
r^2 = 4

Portanto, k = 4.

b) 1 é raiz, então:

1^3 - 3*1^2 - k*1 + 12 = 0
k = 10

Eis a equação:
p(x) = 0 = x^3 - 3*x^2 - 10*x + 12
Então, se 1 é raiz, isso implica que o polinômio p(x) é divisível por d(x) = (x - 1).
Efetuando a divisão de p(x) por d(x) através do método prático de Briot-Ruffini,
obtenho o polinômio quociente q(x) = x^2 - 2*x -12.

As outras duas raízes de p(x) serão as raízes dessa função polinomial do segundo grau q(x), que podem ser facilmente obtidas através da fórmula de Bhaskara e são estas: x2 = 1 + (raiz de +23) e x3 = 1 - (raiz de +23).

Espero não ter cometido algum erro. Um abraço deste que vos escreve, e agradeço bastante pela questão.