Re: Res: [obm-l] Produto finito

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

corrigindo
produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até
n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )

escrevi uma coisa errada era * em vez de =, assim

produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) * ( somatorio[k=0 até
n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )

vou postar então o que já pensei sobre esse produtorio

notações
prod[a,b] f(k)= produtório de f(k) com k variando de "a" até "b"

no caso o produtório pedido foi
prod[1,n] (1+k²)  , se colocarmos k=0, temos 1+0², que não altera nada
no produtorio por 1 ser elemento neutro, podemos então escrever
prod[0,n] (1+k²) , vou chamar esse produtorio de f(n)
vimos a recorrencia que ele gera
prod[0,n] (1+k²) =prod[0,n-1] (1+k²) * (1+n²), implicando
f(n)=f(n-1)*(1+n²), fazendo n+1 em vez de n temos
f(n+1)=f(n)*(1+(n+1)²), todos termos são diferentes de zero , então
podemos tomar

f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)³), chamarei f(n+1)/f(n) de Qf(n)
procuramos então uma função que aplicada o operador Q de (1+(n+1)³) ,
que eu não conheço a priori (=P), se conhecer o problema "morre"

mas chegamos em=Qf(n)= f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²)
porém podemos fazer o seguinte

seja Df(n)=f(n+1)-f(n), então
f(n+1)/f(n)=a^ D log f(n)_(a), pois
(seja sempre o log na base a)
f(n+1)/f(n)=a^log f(n+1) - log f(n)=a ^log f(n+1) . a^-log
f(n)==f(n+1)*f(n)^(-1)=f(n+1)/f(n)
logo Qf(n)=a^D log f(n)

com isso temos
a^D log f(n)=(1+(n+1)³), implicando
D log f(n)= log (1+ (n+1)²)

seja somatorio de k=0 até n-1 escrito como
soma [0, n-1], pode se mostrar que
soma [0,n-1] Df(k)= f(n)-f(0), usando isso na igualdade de logaritmo acima temos

soma[0, n-1]D log f(k)= log f(n)-log f(0 ), porém como f(n) é o
produtorio e como vimos que ele aplicado em zero, dá 1, temos f(0)=1 e
log 1=0, então a expressão fica como
log f(n)=soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²)
tirando o log do primeiro membro, ficamos com
f(n)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²)

continua






Em 29/11/07, albert richerd carnier guedes<arcguede@xxxxxxxxx> escreveu:
> Rodrigo Renji escreveu:
> > Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta certo
> >
>
> > produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )
>
> > onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o módulo desses números, i o número complexo.
> >
> > A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois,
> > depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito
> > como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
> > simples eu acho
> >
> > abraços
> >
> > Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<arcguede@xxxxxxxxx> escreveu:
> >
> >> Rodrigo Cientista escreveu:
> >> Caro Nehab,
> >>
> >
> > uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser
> >
> >> negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
> >> calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial
> >> de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
> >> geralmente, -N! = (-1)^N *
> >> N!
> >>
> >
> > ***************************************************************************************************
> >
> > Carlos
> >
> >> Nehab
> >>
> > Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
> > Oi, Albert (e Ponce)
> > Faltou aplicar o
> >
> >> fatorial em cada parcela do produtório...
> >>
> > Nehab
> >
> > ----- Mensagem original
> >
> >> ----
> >>
> > De: Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>
> > Para:
> >
> >> obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> >>
> > Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007
> >
> >> 3:36:56
> >>
> > Assunto: Re: [obm-l] Produto finito
> >
> > Ola' Albert,
> > voce deve ter se
> >
> >> enganado com alguma coisa no texto.
> >>
> > Do jeito que esta' , o produto e' sempre
> >
> >> zero.
> >>
> >
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 27/11/07, albert richerd carnier
> >
> >> guedes<arcguede@xxxxxxxxx> escreveu:
> >>
> >
> >
> >> Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
> >>
> > Alguém sabe qual
> >
> >> é o valor do produto finito
> >>
> >
> > P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -
> >
> >> N^2 )em função de N.
> >>
> >
> > Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e
> >
> >> (N+1)!N!.
> >>
> >
> > Agradeço qualquer
> >
> >> sugestão.
> >>
> > =========================================================================
> > Instruções
> >
> >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> >> em
> >>
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =========================================================================
> >
> >
> >> =========================================================================
> >>
> > Instruções
> >
> >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> >> em
> >>
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =========================================================================
> >
> >
> >
> >> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
> >> armazenamento!
> >>
> > http://br.mail.yahoo.com/
> >
> > =========================================================================
> > Instruções
> >
> >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> >> em
> >>
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =========================================================================
> >
> >
> >> Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto
> >>
> >> P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 )
> >>
> >
> > sempre começa em
> >
> >> 2, pois se começar em 1 fica tudo 0.
> >>
> >
> > Ele é bem mais fácil de achar.
> > Se
> >
> >> tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma
> >>
> >
> > a_n = ( 1 - n )( 1 + n
> >
> >> )
> >>
> >
> > e teremos o produto
> >
> > P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N
> >
> >> )]
> >>
> >
> > e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis
> >
> > P_1 = ( 1 - 2 ) ...
> >
> >> ( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)!
> >>
> > P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n )
> >
> >> ... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2
> >>
> >
> > E teremos
> >
> > P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!(
> >
> >> N +1 )!/2
> >>
> >
> >
> > Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito
> >
> >> deles.
> >>
> > Não sei pra que servem, mas acho muito legais.
> >
> >
> >> =========================================================================
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >> =========================================================================
> >>
> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =========================================================================
> >
> >
>
> Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :)
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================