Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Joao Carlos e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Tudo tranquilo ! Considere o seguinte :

( PROBLEMA) Dividimos cada um dos tres lados de um besouro ABC em N
partes iguais. Ligamos o vertice A do Besouro ao ponto de divisao do
Lado BC que esteja mais broximo do vertice B. Ligamos o vertice B do
Besouro ao ponto de divisao do Lado AC que esteja mais proximo do
vertice C e, finalmente, ligamos o vertice C do besouro ao ponto de
divisao do lado AB que esteja mais proximo do vertice A. Surgira um
besourinho no interior do besouro ABC, Determine o maior valor de N
tal que a razao entre as areas do besourinho e do besouro seja
inferior a 1/7.

Sem duvida que voce "entende" a questao. Voce tem entao, em verdade,
dois problemas , a saber : Corrigir uma palavra e resolver o problema.
Voce pode fazer uma dentre quatro possibilidade :

1) Nao corrigir a palavra e nao resolver o problema
2) Nao corrigir a palavra e resolver o problema
3) Corrigir a palavra e nao resolver o problema
4) Corrigir a palavra e resolver o problema

Qual a alternativa mais gentil comigo ? ... Foi o que eu fiz com voce !

Considere agora que voce esta assistindo a um concurso de Miss.
Suponha que as concorrentes passaram por provas rigorosas e que a
vencedora e uma mulher escultural, realmente um a beldade digna dos
mais sinceros elogios. Suponha finalmente que uma pessoa sentada ao
seu lado faca a seguinte observacao :

-- O dedinho do pe esquerdo da miss universo e muito feio.

O que voce acha dessa observacao ? ...


SUGESTAO : Use o teorema de Menelau para resolver o problema do TRIANGULO ABC.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
6,0B0E,090B07



Em 08/11/07, João Pedro de Gusmão Silva<joaopedrogusil@xxxxxxxxxxxx> escreveu:
> Senhor Paulo Santa Rita, tudo depende da definição!  O que é um tetraedro?
> Tetraedro é o poliedro formado por 4 faces triângulares.  Então é claro que
> pode um tetraedro ser do tipo do enunciado.   Você deve está confundindo com
> poliedro regular!  No caso de poliedro regular, aí sim o tetraedro só tem
> ângulos de 60° nas suas faces.
> Seja a definição de poliedros em um bom livro de Matemática! Como por
> exemplo: A Matemática do Ensino Médio, volume 2.
> Dos autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e
> Augusto César Morgado* (inesquecível).
>
> Espero ter ajudado.
>
>
>
> Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx> escreveu:
> Ola Joao Carlos e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria
> euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4
> triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares.
> Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas
>
> Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua
> exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma
> piramide triangular que nao e um tetraedro.
>
> Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao.
>
> Um Abracao
> Paulo Santa Rita
> 3,1204,060A07
>
>
>
> Em 06/11/07, JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx
> escreveu:
> > Prezado e nobre Paulo Santa Rita:
> > Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi
> o
> > rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?!
> (sorriso
> > mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?...
> > O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso?
> > Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos?
> > A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o
> problema
> > efetivamente apresentado?
> > Qual o grau de validade de que escrevi?
> >
> > Fraternalmente, João.
> >
> > -----owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx escreveu: -----
> >
> > Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > De: "Paulo Santa Rita"
> > Enviado por: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > Data: 03/11/2007 8:30
> > Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
> >
> > Ola Joao Carlos e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> >
> >
> > Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa
> > os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do
> > poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces
> > iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular
> > cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC.
> >
> > IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
> > XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos
> > (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E
> > obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as
> > piramides possiveis.
> >
> > Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1.
> > Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano.
> > Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura.
> >
> > A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO
> >
> > E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela
> > media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e
> > D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de
> > encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O
> > ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o
> > ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma
> > reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no
> > plano alfa. Sua equacao sera :
> >
> > (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1)
> >
> > Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC
> > e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E
> > EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o
> > circuncentro. Seja E este circuncentro.
> >
> > Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao
> > alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente
> > o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2.
> > Assim, se F e o ortocentro, teremos :
> >
> > F - D = -2*(F - E)
> >
> > B) VERIFICANDO A CONJECTURA
> >
> > Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por
> > este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta
> > perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta
> > reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou.
> >
> > Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar
> > grandona e eu nao tenho tanto tempo assim.
> >
> > O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver
> > como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos
> > retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha,
> > por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p",
> > "q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 +
> > r^2 =>
> > 2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser
> > maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o
> > triangulo e acutangulo.
> >
> >
> >
> > Um Abraco a todos
> > Paulo Santa Rita
> > 7,0A19,030B07
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas:
> > >
> > > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma
> > > correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas
> > > ressaltando as diferenças nos dois casos.
> > >
> > > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no
> > > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então:
> > >
> > > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é
> > > perpendicular ao plano ABC.
> > >
> > > b) O triângulo ABC é acutângulo.
> > >
> > > Grato desde já.
> >
> >
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> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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