Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Joao Carlos e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria
euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4
triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares.
Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas

Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua
exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma
piramide triangular que nao e um tetraedro.

Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
3,1204,060A07



Em 06/11/07, JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx<JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx>
escreveu:
> Prezado e nobre Paulo Santa Rita:
> Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o
> rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso
> mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?...
> O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso?
> Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos?
> A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o problema
> efetivamente apresentado?
> Qual o grau de validade de que escrevi?
>
> Fraternalmente, João.
>
>  -----owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx escreveu: -----
>
> Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> De: "Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>
> Enviado por: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> Data: 03/11/2007 8:30
> Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
>
> Ola Joao Carlos e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
>
>
> Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa
> os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do
> poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces
> iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular
> cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC.
>
> IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
> XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos
> (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E
> obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as
> piramides possiveis.
>
> Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1.
> Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano.
> Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura.
>
> A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO
>
> E facil ...  sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela
> media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e
> D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de
> encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O
> ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o
> ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma
> reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no
> plano alfa. Sua equacao sera :
>
> (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0          EQUACAO (1)
>
> Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC
> e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E
> EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o
> circuncentro. Seja E este circuncentro.
>
> Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao
> alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente
> o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2.
> Assim, se F e o ortocentro, teremos :
>
> F - D = -2*(F - E)
>
> B) VERIFICANDO A CONJECTURA
>
> Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por
> este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta
> perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta
> reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou.
>
> Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar
> grandona e eu nao tenho tanto tempo assim.
>
> O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver
> como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos
> retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha,
> por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p",
> "q" e "r" ja defionidos, teriamos  : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 +
> r^2  =>
> 2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser
> maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o
> triangulo e acutangulo.
>
>
>
> Um Abraco a todos
> Paulo Santa Rita
> 7,0A19,030B07
>
>
>
>
>
> > Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas:
> >
> > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma
> > correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas
> > ressaltando as diferenças nos dois casos.
> >
> > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no
> > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então:
> >
> > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é
> > perpendicular ao plano ABC.
> >
> > b) O triângulo ABC é acutângulo.
> >
> > Grato desde já.
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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