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[SPAM] Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
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<FONT face=3D"Sans Serif padr=E3o,Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif" size=
=3D2><DIV>Prezado e nobre Paulo Santa Rita:</DIV><DIV>Ent=E3o, por minha fa=
lta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o rato. E ainda, =
=E9 capaz do rato n=E3o ter morrido. (sorriso) =C9 isso?! (sorriso mais lar=
go, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?...</DIV><DIV>O =
tetraedro possui como faces 4 tri=E2ngulos equil=E1teros =E9 isso? </DIV><D=
IV>Mas, (j=E1 com ar de interroga=E7=E3o) , a inquiri=E7=E3o n=E3o fala em =
=E2ngulos retos? </DIV><DIV>A <STRONG>tentativa</STRONG> que fiz =E9 subcon=
junto ou est=E1 contida na que resolve o problema efetivamente apresen=
tado?</DIV><DIV>Qual o grau de validade de que escrevi?</DIV><DIV> </D=
IV><DIV>Fraternalmente, Jo=E3o.</DIV><DIV><BR> </DIV><FONT color=3D#99=
0099>-----owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx escreveu: -----<BR><BR></FONT><blockqu=
ote style=3D"PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDE=
R-LEFT: #000000 2px solid; MARGIN-RIGHT: 0px">Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx<BR=
>De: "Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx><BR>Enviado por: o=
wner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx<BR>Data: 03/11/2007 8:30<BR>Assunto: Re: [obm-l] =
Ajuda em geometria espacial<BR><BR><FONT face=3Dmonospace size=3D2>Ola Joao=
Carlos e demais<BR>colegas desta lista ... OBM-L,<BR><BR><BR><BR>Eu vou ap=
resentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa<BR>os detalhes.=
Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do<BR>poliedro regular,=
vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces<BR>iguais. Acredito q=
ue voce esta se referindo a uma piramide triangular<BR>cujo vertice e S e c=
uja base e o triangulo ABC.<BR><BR>IMAGINE o vertice S na origem de um sist=
ema de coordenadas cartesianas<BR>XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os e=
ixos coordenados nos pontos<BR>(p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "=
r" sao reais positivos. E<BR>obvio que variando inteligentemente "p", "q" e=
"r" teremos todas as<BR>piramides possiveis.<BR><BR>Sabemos que a equacao =
deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) =3D 1.<BR>Tambem sabemos que o vetor =
V=3D(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano.<BR>Pronto. Ta tudo ai para prov=
ar ou refutar a conjectura.<BR><BR>A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO<BR><BR>E facil=
... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela<BR>media=
aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e<BR>D=3D(p/3=
,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de<BR>encontro das m=
ediacrizes. Seja A=3D(p,0,0) , B=3D(0,q,0) e C=3D(0,0,r). O<BR>ponto medio =
de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o<BR>ponto medio d=
e AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma<BR>reta perpendicul=
ar ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no<BR>plano alfa. Sua equaca=
o sera :<BR><BR>(X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) =3D 0 &nb=
sp; EQUACAO (1)<BR><BR>Repetindo o mesmo raciocinio para os ou=
tros dois pontos medio ( de BC<BR>e de AC ) teremos duas outra equacoes, no=
meadamente EQUACAO (2) E<BR>EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por e=
stas tres equacoes e o<BR>circuncentro. Seja E este circuncentro.<BR><BR>Sa=
bemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao<BR>alinhado=
s ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente<BR>o segment=
o formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2.<BR>Assim, se F e o=
ortocentro, teremos :<BR><BR>F - D =3D -2*(F - E)<BR><BR>B) VERIFICANDO A =
CONJECTURA<BR><BR>Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora,=
trace por<BR>este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta=
<BR>perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta<B=
R>reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou.<BR><BR>Como=
falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar<BR>grandona e=
eu nao tenho tanto tempo assim.<BR><BR>O item b) e trivial. Tambem vou ape=
nas esbocar uma solucao. Para ver<BR>como e possivelisso, basta ver que SAB=
, SBC e SAC sao traingulos<BR>retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema =
de pitagoras. Suponha,<BR>por exemplo, que AB^2 >=3D BC^2 + AC^2. Usando=
os REAIS POSITIVOS "p",<BR>"q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 +=
q^2 >=3D q^2 + r^2 + p^2 +<BR>r^2 =3D><BR>2*(r^2) =3D< 0 ..=
. absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser<BR>maior ou igual a s=
oma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o<BR>triangulo e acutangulo.<BR=
><BR><BR><BR>Um Abraco a todos<BR>Paulo Santa Rita<BR>7,0A19,030B07<BR><BR>=
<BR><BR><BR><BR>> Amigos estou precisando resolver os seguintes problema=
s:<BR>><BR>> 1) Enunciar os casos de congru=EAncia de tetraedros, faz=
endo uma<BR>> correspond=EAncia com os casos an=E1logos de congru=EAncia=
de tri=E2ngulos, mas<BR>> ressaltando as diferen=E7as nos dois casos.<B=
R>><BR>> 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando =E2ngu=
los retos no<BR>> v=E9rtice S, isto =E9, os =E2ngulos ASB, BSC e CSA s=
=E3o retos, ent=E3o:<BR>><BR>> a) A reta SO, ligando o v=E9rtice S ao=
ortocentro do tri=E2ngulo ABC, =E9<BR>> perpendicular ao plano ABC.<BR>=
><BR>> b) O tri=E2ngulo ABC =E9 acut=E2ngulo.<BR>><BR>> Grato d=
esde j=E1.<BR><BR>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D<BR>Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a=
lista em<BR><A href=3D"http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html"; ta=
rget=3Dblank >http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html</A><BR>=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D<BR></FON=
T></blockquote><br></FONT>=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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