Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Eu acho que consegui uma solução sintética para o item
a do 2. A solução se baseia no seguinte

Teorema. Uma reta é perpendicular a um plano se, e
somente se, é ortogonal a duas retas não paralelas
contidas no plano.

Além disso, uma reta é perpendicular a um plano se, e
somente se, é ortogonal a todas as retas do plano.

Para facilitar um ponto a notação, sejam a, b e c as
retas SA, SB e SC, respectivamente. Seja S' a projeção
de S no plano ABC, ou seja, tal que r := SS' é
perpendicular a tal plano. Vamos provar que S' é o
ortocentro do triângulo ABC.

Para tanto, basta provar que a reta t := S'A é
perpendicular a x: = BC (de modo que S'A contém a
altura por A e, analogamente S'B contém a altura por B
e S'C contém a altura por C, sendo S' o ortocentro).

Note que a := SA é ortogonal a ambos b := SB e c :=
SC. Então a é perpendicular ao plano SBC e, em
particular, a é ortogonal a BC. Além disso, por
construção, r := SS' é perpendicular ao plano ABC; em
particular, r é ortogonal a BC. Logo, pelo teorema
acima, o plano SS'A, determinado por a e r, é
perpendicular a BC. Em particular, S'A é perpendicular
a BC e acabou.

[]'s
Shine

> > Amigos estou precisando resolver os seguintes
> problemas:
> >
> > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros,
> fazendo uma
> > correspondência com os casos análogos de
> congruência de triângulos, mas
> > ressaltando as diferenças nos dois casos.
> >
> > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces
> formando ângulos retos no
> > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são
> retos, então:
> >
> > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do
> triângulo ABC, é
> > perpendicular ao plano ABC.
> >
> > b) O triângulo ABC é acutângulo.
> >
> > Grato desde já.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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