Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Joao Carlos e demais
colegas desta lista ... OBM-L,



Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa
os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do
poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces
iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular
cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC.

IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos
(p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E
obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as
piramides possiveis.

Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1.
Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano.
Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura.

A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO

E facil ...  sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela
media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e
D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de
encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O
ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o
ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma
reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no
plano alfa. Sua equacao sera :

(X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0          EQUACAO (1)

Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC
e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E
EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o
circuncentro. Seja E este circuncentro.

Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao
alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente
o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2.
Assim, se F e o ortocentro, teremos :

F - D = -2*(F - E)

B) VERIFICANDO A CONJECTURA

Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por
este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta
perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta
reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou.

Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar
grandona e eu nao tenho tanto tempo assim.

O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver
como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos
retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha,
por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p",
"q" e "r" ja defionidos, teriamos  : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 +
r^2  =>
2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser
maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o
triangulo e acutangulo.



Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
7,0A19,030B07





> Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas:
>
> 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma
> correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas
> ressaltando as diferenças nos dois casos.
>
> 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no
> vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então:
>
> a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é
> perpendicular ao plano ABC.
>
> b) O triângulo ABC é acutângulo.
>
> Grato desde já.

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