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[SPAM] Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
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<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Fa=E7a-se um tri=E2ngulo escaleno de papel. Co=
le-o sobre uma mesa, esse =E9 o tri=E2ngulo ABC (base do tetraedro). Na rea=
lidade, n=E3o estou fazendo isso, =E9 s=F3 uma descri=E7=E3o ling=FC=EDstic=
a na tentativa de retratar a realidade que parece auxiliar. Coloque-se uma =
haste de madeira perpendicular =E0 mesa por O: ortocentro de ABC.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Bem, agora, sejam imaginadas tr=EAs esferas, c=
ada uma delas tem como di=E2metro os lados: AB, BC e AC. Quaisquer pontos d=
essas esferas, se ligados a A, B e C, formar=E3o com eles tri=E2ngulos ret=
=E2ngulos. Digamos que essas esferas se podem interpenetrar sem que qualque=
r delas se altere.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Legal, a haste de madeira vai furar essas tr=
=EAs esferas em um =FAnico ponto!? Provar isso, e da=ED avan=E7ar, parece s=
er crucial =E0 resolu=E7=E3o do problema. Mas como provar isso? Como da=ED =
avan=E7ar at=E9 o fim do problema? Qual =E9 mesmo o fim do problema? Ah =E9=
! Esse mesmo (conjectura) se provarmos que a haste intercepta as esferas em=
um =FAnico, ent=E3o, acabou.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Por exemplo, a esfera com di=E2metro AB tem ra=
io c/2. Seja M o m=E9dio de AB. Formar-se-=E1 o tri=E2ngulo SMO (ret=E2ngul=
o em O). S =E9 o ponto em que a haste fura essa esfera. SO =E9 a raiz quadr=
ada da diferen=E7a entre os quadrados de c/2 e OM.<SPAN style=3D"mso-spacer=
un: yes"> </SPAN>Alguma literatura deve mostrar a dist=E2ncia de O =
=E0 metade de cada lado de um tri=E2ngulo em fun=E7=E3o de a,b,c, quer dize=
r, pelo menos espero (sorriso). J=E1 que eu n=E3o sei essas f=F3rmulas, nem=
como a elas chegar facilmente, se =E9 que s=E3o necess=E1rias, pois, o fat=
o =E9 que se provarmos que: a raiz quadrada da diferen=E7a dos quadrados de=
c/2 e OM =E9 igual =E0 raiz quadrada da diferen=E7a de quadrados de b/2 e =
ON (N m=E9dio de AC), ent=E3o, acabar=E1 a quest=E3o.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: center" alig=
n=3Dcenter>***</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Uma outra id=E9ia: desenhe o tri=E2ngulo ABC c=
om seu ortocentro O e os segmentos de O a cada um desses v=E9rtices. Supunh=
a poss=EDvel, com o indicador e o polegar de qualquer das m=E3os, subir e a=
baixar o ponto O para fora do plano da mesa. Os =E2ngulos da face do tetrae=
dro (a se formar) ser=E3o sempre menores que os =E2ngulos AOB, BOC e AOC. P=
or=E9m, e justamente por isso, h=E1 alguma rela=E7=E3o entre o quanto se af=
asta O da mesa (para virar S) e o quanto se reduzem os =E2ngulos AOB, BOC e=
AOC para virarem ASB, BSC e ASC, mas paremos no ponto em que eles ser=E3o =
ret=E2ngulos. A quest=E3o =E9 provar que para uma mesma altura de afastamen=
to de S da mesa, todos esses tr=EAs =FAltimos =E2ngulos ser=E3o, justamente=
, retos. =C9 outra id=E9ia. Algu=E9m me ajuda daqui =E0 frente, por obs=E9q=
uio, e tamb=E9m, se houver erro para tr=E1s, retifiquem-no.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><?x=
ml:namespace prefix =3D o ns =3D "urn:schemas-microsoft-com:office:office" =
/><o:p> </o:p></P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Hoje =E9 um novo dia, e pela id=E9ia acima, po=
de-se tamb=E9m presumir que o tetraedro com o v=E9rtice assemelhado ao cant=
o de um cubo existir=E1 somente se os =E2ngulos AOB, AOC, BOC forem maiores=
que 90=BA.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Puxemos separadamente o tri=E2ngulo AOB (por O=
) para se transformar em ASB reto. Assim c^2 =3D AS^2 + BS^2 =3D AO^2 + OS^=
2 + OS^2 + OB^2. Ou seja, 2OS^2 =3D c^2 =96 AO^2 =96 OB^2. Ora, do mesmo mo=
do podemos elevar o AOC para se transformar em AS=B4C. A f=F3rmula ser=E1 a=
mesma, i.e., 2OS=B4^2 =3D b^2 =96 AO^2 =96 OC^2.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>OS=3D OS=B4 (o que desejamos) <SPAN style=3D"F=
ONT-FAMILY: Wingdings; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-=
font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-fami=
ly: Wingdings"><SPAN style=3D"mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family=
: Wingdings">=F3</SPAN></SPAN> c^2 =96 OB^2 =3D b^2 =96 OC^2 <SPAN style=3D=
"FONT-FAMILY: Wingdings; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hans=
i-font-family: 'Times New Roman'; mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-fa=
mily: Wingdings"><SPAN style=3D"mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-fami=
ly: Wingdings">=F3</SPAN></SPAN> c^2 + OC^2 =3D b^2 + OB^2. O que =E9 uma v=
erdade, pois transladando AC paralelamente a ele pr=F3prio at=E9 B, isto =
=E9, de forma que A esteja em B, (o ponto C ser=E1 V, v=E9rtice do paralelo=
gramo assim formado) e o segmento OB^2 + c^2 aparecer=E1 no tri=E2ngulo OBV=
ret=E2ngulo. Da mesma forma, transladando AB paralelamente a ele mesmo at=
=E9 C, isto =E9, de forma que B esteja C, (o ponto A ser=E1 A=B4, v=E9rtice=
do paralelogramo assim formado), teremos naturalmente que A=B4, C, V s=E3o=
colineares, ficar=E1 tamb=E9m formado o tri=E2ngulo A=B4O V que tenho que =
provar que =E9 is=F3sceles (A=B4O =3D OV) para acabar o problema. Pois bem,=
OC =E9 perpendicular a A=B4V e A=B4C =3D AB =3D CV, logo o tri=E2ngulo que=
se quer provar que =E9 is=F3sceles =E9 realmente is=F3scele, o que acaba o=
problema. </P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Corrijam-me por obs=E9quio.</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><SP=
AN style=3D"mso-tab-count: 1"> &nb=
sp; </SPAN>Em realidade, agora vejo, ap=F3s escrever de f=
orma mais concreta, f=E1cil =E9 pass=E1-la =E0 linguagem mais fict=EDcia, u=
m tanto ensinada. Talvez seja mais f=E1cil mostrar aos alunos algo mais pel=
o lado concreto (sempre que poss=EDvel, claro) e caso ainda se julgue neces=
s=E1ria fazer uma tradu=E7=E3o, que seja feita (mas, n=E3o me parece necess=
=E1ria?!). Agora, creio tamb=E9m que o universo do que pode ser escrito de =
forma concreta, no mundo da matem=E1tica, =E9 um tanto pequeno, n=E3o, crei=
o que sim, n=E3o sei?</P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify"><o:=
p> </o:p></P>
<P class=3DMsoNormal style=3D"MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-ALIGN: justify">Fra=
ternalmente, Jo=E3o.</P>
<P>
<P><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt">Amigos estou precisando resolver os =
seguintes problemas:</FONT><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt"> </FONT=
><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt">1) Enunciar os casos de congru=EAncia =
de tetraedros, fazendo uma correspond=EAncia com os casos an=E1logos de con=
gru=EAncia de tri=E2ngulos, mas ressaltando as diferen=E7as nos dois casos.=
</FONT><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt"> </FONT><BR><FONT style=3D"=
FONT-SIZE: 12pt">2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando =E2n=
gulos retos no v=E9rtice S, isto =E9, os =E2ngulos ASB, BSC e CSA s=E3o ret=
os, ent=E3o:</FONT><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt"> </FONT><BR><FO=
NT style=3D"FONT-SIZE: 12pt">a) A reta SO, ligando o v=E9rtice S ao ortocen=
tro do tri=E2ngulo ABC, =E9 perpendicular ao plano ABC.</FONT><BR><FONT sty=
le=3D"FONT-SIZE: 12pt"> </FONT><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt">b) =
O tri=E2ngulo ABC =E9 acut=E2ngulo.</FONT><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12p=
t"> </FONT><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt">Grato desde j=E1.</FONT=
><BR><BR><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt">Abra sua conta no </FONT><A href=
=3D"http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/";><=
U><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt" color=3D#0000ff>Yahoo! Mail</FONT></U></A=
><FONT style=3D"FONT-SIZE: 12pt">, o =FAnico sem limite de espa=E7o para ar=
mazenamento! </FONT></P></P>=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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