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[SPAM] Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
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Senhor Paulo Santa Rita, tudo depende da definição! O que é um tetraedro? Tetraedro é o poliedro formado por 4 faces triângulares. Então é claro que pode um tetraedro ser do tipo do enunciado. Você deve está confundindo com poliedro regular! No caso de poliedro regular, aí sim o tetraedro só tem ângulos de 60° nas suas faces.
Seja a definição de poliedros em um bom livro de Matemática! Como por exemplo: A Matemática do Ensino Médio, volume 2.
Dos autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado* (inesquecível).
Espero ter ajudado.
Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx> escreveu:
Ola Joao Carlos e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria
euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4
triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares.
Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas
Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua
exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma
piramide triangular que nao e um tetraedro.
Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao.
Um Abracao
Paulo Santa Rita
3,1204,060A07
Em 06/11/07, JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx
escreveu:
> Prezado e nobre Paulo Santa Rita:
> Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o
> rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso
> mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?...
> O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso?
> Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos?
> A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o problema
> efetivamente apresentado?
> Qual o grau de validade de que escrevi?
>
> Fraternalmente, João.
>
> -----owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx escreveu: -----
>
> Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> De: "Paulo Santa Rita"
> Enviado por: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> Data: 03/11/2007 8:30
> Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
>
> Ola Joao Carlos e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
>
>
> Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa
> os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do
> poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces
> iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular
> cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC.
>
> IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
> XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos
> (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E
> obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as
> piramides possiveis.
>
> Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1.
> Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano.
> Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura.
>
> A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO
>
> E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela
> media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e
> D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de
> encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O
> ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o
> ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma
> reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no
> plano alfa. Sua equacao sera :
>
> (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1)
>
> Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC
> e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E
> EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o
> circuncentro. Seja E este circuncentro.
>
> Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao
> alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente
> o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2.
> Assim, se F e o ortocentro, teremos :
>
> F - D = -2*(F - E)
>
> B) VERIFICANDO A CONJECTURA
>
> Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por
> este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta
> perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta
> reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou.
>
> Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar
> grandona e eu nao tenho tanto tempo assim.
>
> O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver
> como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos
> retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha,
> por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p",
> "q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 +
> r^2 =>
> 2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser
> maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o
> triangulo e acutangulo.
>
>
>
> Um Abraco a todos
> Paulo Santa Rita
> 7,0A19,030B07
>
>
>
>
>
> > Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas:
> >
> > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma
> > correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas
> > ressaltando as diferenças nos dois casos.
> >
> > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no
> > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então:
> >
> > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é
> > perpendicular ao plano ABC.
> >
> > b) O triângulo ABC é acutângulo.
> >
> > Grato desde já.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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<div>Senhor Paulo Santa Rita, tudo depende da definição! O que é um tetraedro? Tetraedro é o poliedro formado por 4 faces triângulares. Então é claro que pode um tetraedro ser do tipo do enunciado. Você deve está confundindo com poliedro regular! No caso de poliedro regular, aí sim o tetraedro só tem ângulos de 60° nas suas faces.</div> <div>Seja a definição de poliedros em um bom livro de Matemática! Como por exemplo: A Matemática do Ensino Médio, volume 2.</div> <div>Dos autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado* (inesquecível).</div> <div> </div> <div>Espero ter ajudado. </div> <div> </div> <div><BR><BR><B><I>Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx></I></B> escreveu:</div> <BLOCKQUOTE class=replbq style="PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDER-LEFT: #1010ff 2px solid">Ola Joao Carlos e demais<BR>colegas desta lista ... OBM-L,<BR><BR>A palavra TETRAEDRO tem
um significado preciso na Geometria<BR>euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4<BR>triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares.<BR>Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas<BR><BR>Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua<BR>exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma<BR>piramide triangular que nao e um tetraedro.<BR><BR>Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao.<BR><BR>Um Abracao<BR>Paulo Santa Rita<BR>3,1204,060A07<BR><BR><BR><BR>Em 06/11/07, JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx<JOAOCARLOS_JUNIOR@xxxxxxxxxxxxx><BR>escreveu:<BR>> Prezado e nobre Paulo Santa Rita:<BR>> Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o<BR>> rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso<BR>> mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?...<BR>> O tetraedro possui como faces 4 triângulos
equiláteros é isso?<BR>> Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos?<BR>> A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o problema<BR>> efetivamente apresentado?<BR>> Qual o grau de validade de que escrevi?<BR>><BR>> Fraternalmente, João.<BR>><BR>> -----owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx escreveu: -----<BR>><BR>> Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx<BR>> De: "Paulo Santa Rita" <PAULO.SANTARITA@xxxxxxxxx><BR>> Enviado por: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx<BR>> Data: 03/11/2007 8:30<BR>> Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial<BR>><BR>> Ola Joao Carlos e demais<BR>> colegas desta lista ... OBM-L,<BR>><BR>><BR>><BR>> Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa<BR>> os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do<BR>> poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces<BR>> iguais. Acredito que voce esta se
referindo a uma piramide triangular<BR>> cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC.<BR>><BR>> IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas<BR>> XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos<BR>> (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. E<BR>> obvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas as<BR>> piramides possiveis.<BR>><BR>> Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1.<BR>> Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano.<BR>> Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura.<BR>><BR>> A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO<BR>><BR>> E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela<BR>> media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e<BR>> D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de<BR>> encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) ,
B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O<BR>> ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o<BR>> ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma<BR>> reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no<BR>> plano alfa. Sua equacao sera :<BR>><BR>> (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1)<BR>><BR>> Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC<BR>> e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E<BR>> EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o<BR>> circuncentro. Seja E este circuncentro.<BR>><BR>> Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao<BR>> alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente<BR>> o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2.<BR>> Assim, se F e o ortocentro, teremos :<BR>><BR>> F - D = -2*(F - E)<BR>><BR>> B)
VERIFICANDO A CONJECTURA<BR>><BR>> Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por<BR>> este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta<BR>> perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta<BR>> reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou.<BR>><BR>> Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar<BR>> grandona e eu nao tenho tanto tempo assim.<BR>><BR>> O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver<BR>> como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos<BR>> retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha,<BR>> por exemplo, que AB^2 >= BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p",<BR>> "q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 >= q^2 + r^2 + p^2 +<BR>> r^2 =><BR>> 2*(r^2) =< 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser<BR>> maior ou igual a soma dos
quadrados dos outros dois, ou seja, o<BR>> triangulo e acutangulo.<BR>><BR>><BR>><BR>> Um Abraco a todos<BR>> Paulo Santa Rita<BR>> 7,0A19,030B07<BR>><BR>><BR>><BR>><BR>><BR>> > Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas:<BR>> ><BR>> > 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma<BR>> > correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas<BR>> > ressaltando as diferenças nos dois casos.<BR>> ><BR>> > 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no<BR>> > vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então:<BR>> ><BR>> > a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é<BR>> > perpendicular ao plano ABC.<BR>> ><BR>> > b) O triângulo ABC é acutângulo.<BR>> ><BR>> > Grato desde já.<BR>><BR>>
=========================================================================<BR>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<BR>> =========================================================================<BR>><BR>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<BR><BR>=========================================================================<BR>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR>http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<BR>=========================================================================<BR></BLOCKQUOTE><BR><p> 
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