[obm-l] Re: Ajuda com uma demosnstração

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Há algum tempo Artur Steiner mandou o problema abaixo para esta lista:

> Provar isto parece ser interessante (f^k significa a k-gésima derivada de f).

> Seja f:R --> R. Suponhamos que, para algum inteiro positivo n,
> f^(n+1) exista em R e que  f e f^(n+1) sejam ambas limitadas em R.
> Para todo inteiro positivo k <= n temos, entao, que f^k eh limiatada em R.

Dizemos que uma função contínua g: R -> R é *grande* se para todo M > 0
existir x tal que |f(t)| > M para todo t no intervalo [x,x+M].

Lema 1: Se f0 é contínua e limitada e sua primitiva f1 (i.e., f1´ =
f0) é ilimitada
então f1 é grande.

Dem: Suponha sem perda de generalidade que |f0(t)| <= 1 para todo t.
Se f1 é ilimitada então para todo M existe x tal que |f1(x)| > 3M.
Como |f1'(t)| <= 1 isto significa que |f(t)| > M para todo t no
intervalo [x,x+M].

Lema 2: Se f0 é grande então sua primitiva f1 é grande.

Dem: Seja M > 1. Seja x tal que |f0(t)| > 4M para todo t em [x,x+4M].
Como f0 é contínua podemos supor sem perda que f0(t) > 4M para todo t
no intervalo.
Suponha ainda que f1(x+2M) >= 0 (o caso <= é análogo).
Pelo TVM f1(x+3M) >= 4M^2 donde |f1(t)| > M para todo t em [x+3M,x+4M].

Agora voltamos ao problema.
Comece com f^(n+1) que é limitada e considere as funções
f^(n), f^(n-1), ..., f^(1), f = f^(0).
Pelos lemas, se alguma delas for ilimitada será grande e todas a partir daí
serão grandes também. Como por hipótese f não é grande então todas são
limitadas.

N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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