Re: [obm-l] Probabilidade

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Fernando Cores, Ronaldo Alonso
e demais colegas desta lista ... OBM-L,

A motivacao para esta mensagem e complementar a minha manifestacao
anterior, apresentando um um algoritmo simples e eficiente para o
calculo dos coeficientes dos polinomios Pi já definidos. Com este
algoritmo ficara facil dar uma resposta rapida e exata para o problema
de combinatoria proposto pelo Fernando Cores. Relembrando,  haviamos
definido os polinomios Pi pela recorrencia :

P0 = 1
Pi = (1 + (X^i) )*Pi-1,   i = 1, 2, 3, ...

Podemos olhar a segunda equacao na forma Pi = Pi-1 + (X^i)*Pi-1.
Significa isso que cada Pi "aproveita" intactos todos os monomios de
Pi-1 com grau inferior a "i", reduzindo a um único monomio os monomios
de mesmo grau que existam em Pi-1 e (X^i)*Pi-1. Como Pk, para todo k,
e claramente um polinomio completo com termo independente igual a 1, a
observação anterior conduz a seguinte algoritmo de calculo dos
coeficientes de Pi :

ALGORITMO

Seja C = (i*(1+i))/2. IMAGINE agora uma matrix P com "i" Linhas,
numeradas de cima para baixo de 1 ate "i" e com "C+1" colunas,
numeradas da esquerda para a direita de 0 ate "C". Seja tambem P(K,L)
o valor numerico do cruzamento da linha K com a coluna L.

A principio faca P(1,0) =1, P(1,1) = 1 e P(1,L)=0 para todo 1 <  L <
C. Para todo linha K fixada, tal que 1< K =< i, faca :

1) P(K,L) = 0 se L < K
2) P(K,L) = 1 se K =< L =< (K*(K+1))/2
3) P(K,L) = 0 se  L >  (K*(K+1)) / 2

após preencher as "i" linhas desta matrix segundo os criterios acima,
a soma dos elementos de uma coluna L qualquer, 0 =< L =< C,  fornecera
o coeficiente de X^L do polinomio Pi, vale dizer, fornecera o numero
de maneira de particionar o inteiro positivo L em partes duas a duas
distintas e toda menores ou iguais a "i".

Vou dar um exemplo. IMAGINE as numeracoes das linhas e colunas
conforme a descricao que dei acima

EXEMPLO : Coeficientes de P7.

11000000000000000000000000000
00110000000000000000000000000
00011110000000000000000000000
00001111111000000000000000000
00000111111111100000000000000
00000011111111111111100000000
00000001111111111111111111111

Somando as colunas teremos
11122344444333322222211111111

Logo, o polinomio P7 sera :

P7=1+X+(X^2)+2*(X^3)+2*(X^4)+3*(X^5)+4*(X^6)+4*(X^7)+4*(X^8)+4*(X^9)+4*(X^10)+3*(X^11)+
3*(X^12)+3*(X^13)+3*(X^14)+2*(X^15)+2*(X^16)+2*(X^17)+2*(X^18)+2*(X^19)+2*(X^20)+(X^21)+
(X^22)+(X^23)+(X^24)+(X^25)+(X^26)+(X^27)+(X^28)

So a titulo de exemplificacao, o coeficiente de X^15 e 2, vale dizer,
so existem duas maneiras de particionar 15 em parcelas distintas e
menores ou iguais a 7, a saber : 2+6+7 e 3+5+7.Veja tambem que este
algoritmo que imaginei e muito simples e facilimo de ser implementado
em qualquer boa linguagem de programacao. Como so usa substituicoes e
adicoes, sera tambem eficiente. Assim, em termos operacionais, o
problema combinatorio do Fernando Cores já esta resolvido.

Nos porem somos orgulhosamente Matematicos ... Sim, Matematicos ! Para
nos, em geral, os algoritmos são apenas escoras que nos devem levar a
uma compreensao superior das coisas. Isto posto, considerando o
algoritmo descrito acima, vamos buscar uma solucao completa e acabada
da questao.

Fixe o algoritmo em sua cabeca. Note agora para uma coluna L > 1
qualquer, o primeiro 1 surge após um "boa" quantidade de zeros. Quem e
essa quantidade de zeros que antecede o primeiro 1 ? E facil ver
trata-se do maior K tal que (K*(K+1)) /2 < L. Se (K*(K+1))/2 >= L
entao no polinomio Pk já surge o termo X^L, ou seja, já existe um
numero 1 na linha K. Feito esta observação, o calculo exato e não
operacional do coeficiente de X^L na sequencia de polinomio Pi segue
facilmente, a saber :


COEFICIENTE DE X^L NOS POLINOMIOS Pi

Doravante, chamarei de C(L,i) o coeficiente de X^L no polinomio "i"

1 ) Seja K o maior inteiro k tal que [ k*(k+1) / 2 ] < L
2) Se i =< L faca C(L,i) = i – K, Se i > L faca C(L,i) = L – K

EXEMPLO

Qual o coeficiente de X^1007514 em P2007 ?

1) Maior inteiro K tal que ( K*(K+1) ) / 2 < 1007514
Fazendo um calculo rapido achamos K = 1419.

2) Como 2007 < 1007514 fazemos C(1007517,2007) = 2007 – 1419 =  588

Assim, o coeficiente de X^1007514 em P2007 e 588. em termos do
problema combinatorio do Fernando Cores significa que existem 588
maneiras de dividir o conjunto A={1,2,...,2007} em duas partes
disjuntas B eC tais que a soma dos elementos de B seja igual a soma
dos elementos de C.


O CASO GERAL

PROBLEMA : De quantas maneiras e possivel expressar o conjunto A = {1,
2, 3, ..., N }
na forma A = B uniao C tal que :

1) B intersecao C = conjunto vazio
2) Soma dos Elementos de B = Soma dos Elementos de C

Conforme já vimos na mensagem anterior, achamos L = (N*(N+1)) /4.
Perguntamos entao "Qual o coeficiente de X^L em Pn ? ". Achamos entao
o maior  inteiro positivo k tal que (k*(k+1))/2 < L . Seja K este
valor. Se N < L fazemos C(L,N) = N – K. Se N >= L fazemos C(N,L) = L –
K.


OBSERVACOES FINAIS

1) E obvio ululante que voce pode pensar em dividir o conjunto A =
{1,2,...,N} não em apenas dois conjunto disjuntos B e C com mesma soma
de elementos. Voce pode aplicar esta mesma tecnica para 3, 4 ou mais
conjuntos, desde de que a soma 1 + 2 + ... + N seja divisivel por 3, 4
etc

2) Não achei necessario justificar que o ALGORITMO que descobri
realmente calcula  os coeficientes de Pi porque ele me parece evidente
em face da expressao da sequencia de polinomios Pi=Pi-1 + (X^i)*Pi-1 :
ele e apenas uma maneira conveniente de registrar os calculos desta
expressao.

3)  Se alguem desejar divulgar ou usar em outro paper este ALGORITMO
ou as tecnicas aqui apresentadas não tem problemas . Basta citar que
trata-se de uma producao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE
PROBLEMAS DE MATEMATICA da PUC-RJ ( Lista de discussao de Matematica
do Nicolau )

4) Qualquer erro aqui a culpa e toda minha. Não me milindra qualquer
correcao que algum colega queira fazer. Mas lembre-se que não dispomos
de muito tempo para fazer uma re-leitura ou/e correcoes : as ideias
vao surgindo e nos vamos escrevendo

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
6,0A29,090B07

Em 07/11/07, fccores<fccores@xxxxxxxxxx> escreveu:
> Prezado Paulo Santa Rita,
>
>           Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do
> problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos
> favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este
> que me levou a consultar várias fontes, inclusive "Introdução à análise
> combinatória", do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca
> de assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro.
>          Estudei, inclusive um outro problema correlato:
>
>      "Determinar o coeficiente de x^k, 0=<k=<n, no desenvovimento de [1 +
> ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x]."
>
>          Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira
> explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava
> (espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um
> problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei
> algumas outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele
> coeficiente é uma potência de 2, estou trabalhando na prova.
>
>          Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem  e
> parabenizo a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da
> qual sou um leitor assíduo.
>
>                      Fernando Córes
>
>
> > Ola Fernando e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio
> > previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas
> > podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em
> > dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos
> > elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular
> > este enunciado.
> >
> > Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras
> > distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde :
> >
> > 1) B intersecao C = Conjunto Vazio
> > 2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C
> >
> > Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que
> > a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028
> > / 2 = 1007514. E e igualmente claro que para um determinando conjunto
> > B com elementos oriundos de A e cuja soma destes elementos seja
> > 1007514, o correspondente conjunto C que atende as exigencias 1) e 2)
> > acima fica automaticamente determinado, C = A - B. Assim, precisamos
> > nos preocupar apenas em determinar
> >
> > ( PRIMEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> >
> > ( ENUNCIADO1 ) Quantos conjuntos B podemos construir tais que os seus
> > elementos sejam oriundos de A e que a soma destes elementos seja
> > 1007514.
> >
> > Seja entao B = {b1, b2, b3, ..., bn } um destes conjuntos. Como
> > 1007514 = b1+b2+...+bn e bi promana de A, vale dizer, bi e inteiro
> > positivo, segue que "b1+b2+...+bn" e uma PARTICAO do numero 1007514.
> > Ora, uma particao de um inteiro positivo N e uma soma de inteiros
> > positivos, i1 + i2 + ... + in, distintos ou não, tais que N = i1 + i2
> > + ... + in. Logo, os conjuntos B que estamos buscando são em verdade
> > todas as particoes de 1007514 que atendam as seguintes restricoes :
> >
> > 1) As parcelas devem ser duas a duas distintas
> > 2) Nenhuma parcela pode ser superior a 2007
> >
> > Esta ultima consideracao deixa claro que o que buscamos pode ser
> > expresso assim :
> >
> > ( SEGUNDA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> >
> > ( ENUNCIADO2 ) Quantas particoes de 1007514 podemos construir tais que
> > as parcelas de cada particao sejam duas a duas distintas e nenhuma
> > delas seja superior a 2007.
> >
> > Vamos nos fixar aqui. A principio, definimos a sequencia de polinomios :
> >
> > P0 = 1
> > Pi = ( 1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ...
> >
> > Analisando a sequencia acima, e facil ver que
> >
> > 1) Todo Pi tem termo independente e coeficiente lider iguais a 1
> > 2) Todo Pi e um polinomio completo cujo grau e (i(1+i))/2
> >
> > Um fenomeno notavel - facilmente observavel e simples de explicar - e
> > que, para todo "n", um monomio com parte literal X^n surgira pela
> > primeira vez na sequencia de polinomios no polinomio Pi tal que "i"
> > seja o menor inteiro positivo tal que (i*(1+i))/2 >= n. Isso
> > claramente decorre do fato de Pi ser completo e de grau (i*(1+i)) / 2
> > . E igualmente facil de ver que, após surgir, o coeficiente de X^n
> > cresce ate atingir o seu valor maximo no polinomio Pn.
> >
> > Os coeficientes de X^n nos polinomios Pi onde ele aparece fornece
> > informacoes importantes sobre as particoes de "n" em parcelas duas a
> > duas distintas ... com efeito, dado que Pi = (1+ X )*(1 + (X^2) )*(1 +
> > (X^3) )*...*(1+ (X^i) ), ao efetuar as multiplicacoes indicadas, um
> > produto de ate "i" monomios da forma X^e, 1 =< e =< i, vai contribuir
> > para a formacao final do coeficiente de X^n se a soma dos seus
> > expoentes for "n", vale dizer, o coeficiente de X^n em Pi, i =< n, e
> > igual ao numero de particoes de "n" em parcelas duas a duas distintas,
> > todas menores que i+1. Por esta razao, o que estamos buscando pode ser
> > expresso assim :
> >
> > ( TERCEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> >
> > ( ENUNCIADO3 ) Qual e o coeficiente de X^1007514 em P2007 ?
> >
> > Assim, fica claro a ligacao deste problema com a Teoria das Particoes.
> > Este tema da teoria dos numeros e bastante amplo e antigo, com belas
> > contribuicoes de Euler, Ramanujam e outros. O livro abaixo, elementar
> > e introdutorio, trata desse tema :
> >
> > Introducao a Teoria dos Numeros
> > Colecao Matematica Universitaria - IMPA
> > Autor
> >
> > Voce tambem pode ver isso aqui :
> >
> > http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
> >
> > Um Abraco a Todos
> > Paulo Santa Rita
> > 4,0738,070A07

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================