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Re: [obm-l] Probabilidade

Prezado Paulo Santa Rita,
 
          Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este que me levou a consultar várias fontes, inclusive "Introdução à análise combinatória", do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca de assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro.
         Estudei, inclusive um outro problema correlato:
       
     "Determinar o coeficiente de x^k, 0=<k=<n, no desenvovimento de [1 + ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x]."
 
         Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava (espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei algumas outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele coeficiente é uma potência de 2, estou trabalhando na prova. 
 
         Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem  e parabenizo a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da qual sou um leitor assíduo.
 
                     Fernando Córes
 
 
> Ola Fernando e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio
> previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas
> podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em
> dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos
> elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular
> este enunciado.
>
> Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras
> distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde :
>
> 1) B intersecao C = Conjunto Vazio
> 2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C
>
> Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que
> a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028
> / 2 = 1007514. E e igualmente claro que para um determinando conjunto
> B com elementos oriundos de A e cuja soma destes elementos seja
> 1007514, o correspondente conjunto C que atende as exigencias 1) e 2)
> acima fica automaticamente determinado, C = A - B. Assim, precisamos
> nos preocupar apenas em determinar
>
> ( PRIMEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
>
> ( ENUNCIADO1 ) Quantos conjuntos B podemos construir tais que os seus
> elementos sejam oriundos de A e que a soma destes elementos seja
> 1007514.
>
> Seja entao B = {b1, b2, b3, ..., bn } um destes conjuntos. Como
> 1007514 = b1+b2+...+bn e bi promana de A, vale dizer, bi e inteiro
> positivo, segue que "b1+b2+...+bn" e uma PARTICAO do numero 1007514.
> Ora, uma particao de um inteiro positivo N e uma soma de inteiros
> positivos, i1 + i2 + ... + in, distintos ou não, tais que N = i1 + i2
> + ... + in. Logo, os conjuntos B que estamos buscando são em verdade
> todas as particoes de 1007514 que atendam as seguintes restricoes :
>
> 1) As parcelas devem ser duas a duas distintas
> 2) Nenhuma parcela pode ser superior a 2007
>
> Esta ultima consideracao deixa claro que o que buscamos pode ser
> expresso assim :
>
> ( SEGUNDA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
>
> ( ENUNCIADO2 ) Quantas particoes de 1007514 podemos construir tais que
> as parcelas de cada particao sejam duas a duas distintas e nenhuma
> delas seja superior a 2007.
>
> Vamos nos fixar aqui. A principio, definimos a sequencia de polinomios :
>
> P0 = 1
> Pi = ( 1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ...
>
> Analisando a sequencia acima, e facil ver que
>
> 1) Todo Pi tem termo independente e coeficiente lider iguais a 1
> 2) Todo Pi e um polinomio completo cujo grau e (i(1+i))/2
>
> Um fenomeno notavel - facilmente observavel e simples de explicar - e
> que, para todo "n", um monomio com parte literal X^n surgira pela
> primeira vez na sequencia de polinomios no polinomio Pi tal que "i"
> seja o menor inteiro positivo tal que (i*(1+i))/2 >= n. Isso
> claramente decorre do fato de Pi ser completo e de grau (i*(1+i)) / 2
> . E igualmente facil de ver que, após surgir, o coeficiente de X^n
> cresce ate atingir o seu valor maximo no polinomio Pn.
>
> Os coeficientes de X^n nos polinomios Pi onde ele aparece fornece
> informacoes importantes sobre as particoes de "n" em parcelas duas a
> duas distintas ... com efeito, dado que Pi = (1+ X )*(1 + (X^2) )*(1 +
> (X^3) )*...*(1+ (X^i) ), ao efetuar as multiplicacoes indicadas, um
> produto de ate "i" monomios da forma X^e, 1 =< e =< i, vai contribuir
> para a formacao final do coeficiente de X^n se a soma dos seus
> expoentes for "n", vale dizer, o coeficiente de X^n em Pi, i =< n, e
> igual ao numero de particoes de "n" em parcelas duas a duas distintas,
> todas menores que i+1. Por esta razao, o que estamos buscando pode ser
> expresso assim :
>
> ( TERCEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
>
> ( ENUNCIADO3 ) Qual e o coeficiente de X^1007514 em P2007 ?
>
> Assim, fica claro a ligacao deste problema com a Teoria das Particoes.
> Este tema da teoria dos numeros e bastante amplo e antigo, com belas
> contribuicoes de Euler, Ramanujam e outros. O livro abaixo, elementar
> e introdutorio, trata desse tema :
>
> Introducao a Teoria dos Numeros
> Colecao Matematica Universitaria - IMPA
> Autor
>
> Voce tambem pode ver isso aqui :
>
> http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 4,0738,070A07
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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