Re: [obm-l] Probabilidade

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Fernando e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Eu so respondi por dois motivos :

1) Tornar claro a ligacao do problema com o tema das particoes tanto
para facilitar a solucao de alguem que venha a ter interesse pela
questao como para colocar em pauta aqui na lista este tema da teoria
dos numeros ( particoes ), muito pouco abordado.

2) O tipo de problema me levou a imaginar que voce fosse um
pesquisador na area de  Computacao e estava querendo testar a
eficiencia de algum sistema de codificacao de mensagem tal que tomando
dois subconjuntos disjuntos B e C  de A={1, 2, ..., N }, N nao tao
grande,  com mesma soma dos elementos, ao transmitir a mensagem
codificada com B um outro usuario facilmente encontraria C e
decodificaria, enquanto que uma pessoa estranha nao-autorizada - tendo
inteceptado a mensagem - dado a grande quantidade de possibilidades,
teria muita dificuldade numa decodificacao nao-autorizada.

O caso 2) seria interessante se fosse viavel para N "nao tao grande",
pois significaria um aperfeicoamento em relacao ao que se faz
rotineiramente hoje ( numero primo "grande" ). Entretanto, vejo que
imaginei errado ... Como voce diz que isto e apenas um problema
olimpico, eu procuraria uma solucao bem elementar, por exemplo :

1) E claro que existe UMA UNICA solucao de COMPRIMENTO MINIMO,
nomeadamente, comecando com uma PA decrescente de primeiro termo 2007
e razao -1. Talvez seja necessario acrescentar um menor termo que nao
faca parte da PA. Chamarei esse cara de N. Mas ela tera a forma :

N + ( (P) + (P+1) + (P+2) + ...+ 2007) =1007514

2) E claro que vai haver uma solucao de COMPRIMENTO MAXIMO, com a forma :

1 + 2 + ... + Q + N = 1007514

3) Classificando-se as solucoes pelos comprimentos talvez fique mais
facil encontra-las.

Nao pensei no problema, mas fica a sugestao

Um Abraco
Paulo Santa Rita
4,0B23,070B07

Em 07/11/07, fccores<fccores@xxxxxxxxxx> escreveu:
> Prezado Paulo Santa Rita,
>
>           Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do
> problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos
> favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este
> que me levou a consultar várias fontes, inclusive "Introdução à análise
> combinatória", do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca
> de assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro.
>          Estudei, inclusive um outro problema correlato:
>
>      "Determinar o coeficiente de x^k, 0=<k=<n, no desenvovimento de [1 +
> ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x]."
>
>          Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira
> explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava
> (espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um
> problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei
> algumas outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele
> coeficiente é uma potência de 2, estou trabalhando na prova.
>
>          Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem  e
> parabenizo a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da
> qual sou um leitor assíduo.
>
>                      Fernando Córes
>
>
> > Ola Fernando e demais
> > colegas desta lista ... OBM-L,
> >
> > Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio
> > previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas
> > podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em
> > dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos
> > elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular
> > este enunciado.
> >
> > Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras
> > distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde :
> >
> > 1) B intersecao C = Conjunto Vazio
> > 2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C
> >
> > Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que
> > a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028
> > / 2 = 1007514. E e igualmente claro que para um determinando conjunto
> > B com elementos oriundos de A e cuja soma destes elementos seja
> > 1007514, o correspondente conjunto C que atende as exigencias 1) e 2)
> > acima fica automaticamente determinado, C = A - B. Assim, precisamos
> > nos preocupar apenas em determinar
> >
> > ( PRIMEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> >
> > ( ENUNCIADO1 ) Quantos conjuntos B podemos construir tais que os seus
> > elementos sejam oriundos de A e que a soma destes elementos seja
> > 1007514.
> >
> > Seja entao B = {b1, b2, b3, ..., bn } um destes conjuntos. Como
> > 1007514 = b1+b2+...+bn e bi promana de A, vale dizer, bi e inteiro
> > positivo, segue que "b1+b2+...+bn" e uma PARTICAO do numero 1007514.
> > Ora, uma particao de um inteiro positivo N e uma soma de inteiros
> > positivos, i1 + i2 + ... + in, distintos ou não, tais que N = i1 + i2
> > + ... + in. Logo, os conjuntos B que estamos buscando são em verdade
> > todas as particoes de 1007514 que atendam as seguintes restricoes :
> >
> > 1) As parcelas devem ser duas a duas distintas
> > 2) Nenhuma parcela pode ser superior a 2007
> >
> > Esta ultima consideracao deixa claro que o que buscamos pode ser
> > expresso assim :
> >
> > ( SEGUNDA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> >
> > ( ENUNCIADO2 ) Quantas particoes de 1007514 podemos construir tais que
> > as parcelas de cada particao sejam duas a duas distintas e nenhuma
> > delas seja superior a 2007.
> >
> > Vamos nos fixar aqui. A principio, definimos a sequencia de polinomios :
> >
> > P0 = 1
> > Pi = ( 1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ...
> >
> > Analisando a sequencia acima, e facil ver que
> >
> > 1) Todo Pi tem termo independente e coeficiente lider iguais a 1
> > 2) Todo Pi e um polinomio completo cujo grau e (i(1+i))/2
> >
> > Um fenomeno notavel - facilmente observavel e simples de explicar - e
> > que, para todo "n", um monomio com parte literal X^n surgira pela
> > primeira vez na sequencia de polinomios no polinomio Pi tal que "i"
> > seja o menor inteiro positivo tal que (i*(1+i))/2 >= n. Isso
> > claramente decorre do fato de Pi ser completo e de grau (i*(1+i)) / 2
> > . E igualmente facil de ver que, após surgir, o coeficiente de X^n
> > cresce ate atingir o seu valor maximo no polinomio Pn.
> >
> > Os coeficientes de X^n nos polinomios Pi onde ele aparece fornece
> > informacoes importantes sobre as particoes de "n" em parcelas duas a
> > duas distintas ... com efeito, dado que Pi = (1+ X )*(1 + (X^2) )*(1 +
> > (X^3) )*...*(1+ (X^i) ), ao efetuar as multiplicacoes indicadas, um
> > produto de ate "i" monomios da forma X^e, 1 =< e =< i, vai contribuir
> > para a formacao final do coeficiente de X^n se a soma dos seus
> > expoentes for "n", vale dizer, o coeficiente de X^n em Pi, i =< n, e
> > igual ao numero de particoes de "n" em parcelas duas a duas distintas,
> > todas menores que i+1. Por esta razao, o que estamos buscando pode ser
> > expresso assim :
> >
> > ( TERCEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> >
> > ( ENUNCIADO3 ) Qual e o coeficiente de X^1007514 em P2007 ?
> >
> > Assim, fica claro a ligacao deste problema com a Teoria das Particoes.
> > Este tema da teoria dos numeros e bastante amplo e antigo, com belas
> > contribuicoes de Euler, Ramanujam e outros. O livro abaixo, elementar
> > e introdutorio, trata desse tema :
> >
> > Introducao a Teoria dos Numeros
> > Colecao Matematica Universitaria - IMPA
> > Autor
> >
> > Voce tambem pode ver isso aqui :
> >
> > http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
> >
> > Um Abraco a Todos
> > Paulo Santa Rita
> > 4,0738,070A07
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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