Re: [obm-l] Probabilidade

["Lucas Pierezan" <lucas.pierezan@xxxxxxxxx>]

Olá Paulo,

Acredito que o seu algoritmo não esteja funcionando corretamente devido ao passo
2 , onde você diz que

2) P(K,L) = 1 se K =< L =< (K*(K+1))/2

é um erro muito sutil e eu não sou muito bom com explicações mas a
idéa é mais ou menos a seguinte:
o passo dois deveria corresponder aos coeficientes de p(k-1) que foram
multiplicados por x^k, logo eles foram transladados k posições para a
direita na matriz, porém você está transladando uma sequência de 1´s e
não os coeficientes de p(k-1).Esse passo estaria certo se não
ocorresem 1´s um acima do outro.

Veja o coeficiente de x^7 em P4, ele deveria ser 2, pois o coeficiente
de x^3 em P3 é 2.

Agora, uma outra observação é que não precisamos calcular o polinômio
inteiro para achar o número de partições de um número x com parcelas
distintas e menores ou iguais a y.
Para isso , pensando recursivamente
Part(x,0) = 1 se x=0 e 0 caso contrário.
Part(x,y) = Part(x-y,y-1) + Part(x,y-1)
o primeiro caso usando o número y na partição e no segundo não usando.
Ou olhando o polinômio Pk como uma função geradora.
Acho que a ordem de complexidade desse algoritmo é x*y.(usando uma
tabela para guardar valores já computado).
O máximo que eu consegui calcular foi Part(338,338) = 724399192576, se
não tiver nada errado =P.
É possível também fazer um programa pra listar as partições e fica
listPat(15,7) =
7 + 6 + 2
7 + 5 + 3
7 + 5 + 2 + 1
7 + 4 + 3 + 1
6 + 5 + 4
6 + 5 + 3 + 1
6 + 4 + 3 + 2
5 + 4 + 3 + 2 + 1

[]´s
Lucas Pierezan Magalhães

On Nov 9, 2007 10:29 AM, Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx> wrote:
> Ola Fernando Cores, Ronaldo Alonso
> e demais colegas desta lista ... OBM-L,
>
> A motivacao para esta mensagem e complementar a minha manifestacao
> anterior, apresentando um um algoritmo simples e eficiente para o
> calculo dos coeficientes dos polinomios Pi já definidos. Com este
> algoritmo ficara facil dar uma resposta rapida e exata para o problema
> de combinatoria proposto pelo Fernando Cores. Relembrando,  haviamos
> definido os polinomios Pi pela recorrencia :
>
> P0 = 1
> Pi = (1 + (X^i) )*Pi-1,   i = 1, 2, 3, ...
>
> Podemos olhar a segunda equacao na forma Pi = Pi-1 + (X^i)*Pi-1.
> Significa isso que cada Pi "aproveita" intactos todos os monomios de
> Pi-1 com grau inferior a "i", reduzindo a um único monomio os monomios
> de mesmo grau que existam em Pi-1 e (X^i)*Pi-1. Como Pk, para todo k,
> e claramente um polinomio completo com termo independente igual a 1, a
> observação anterior conduz a seguinte algoritmo de calculo dos
> coeficientes de Pi :
>
> ALGORITMO
>
> Seja C = (i*(1+i))/2. IMAGINE agora uma matrix P com "i" Linhas,
> numeradas de cima para baixo de 1 ate "i" e com "C+1" colunas,
> numeradas da esquerda para a direita de 0 ate "C". Seja tambem P(K,L)
> o valor numerico do cruzamento da linha K com a coluna L.
>
> A principio faca P(1,0) =1, P(1,1) = 1 e P(1,L)=0 para todo 1 <  L <
> C. Para todo linha K fixada, tal que 1< K =< i, faca :
>
> 1) P(K,L) = 0 se L < K
> 2) P(K,L) = 1 se K =< L =< (K*(K+1))/2
> 3) P(K,L) = 0 se  L >  (K*(K+1)) / 2
>
> após preencher as "i" linhas desta matrix segundo os criterios acima,
> a soma dos elementos de uma coluna L qualquer, 0 =< L =< C,  fornecera
> o coeficiente de X^L do polinomio Pi, vale dizer, fornecera o numero
> de maneira de particionar o inteiro positivo L em partes duas a duas
> distintas e toda menores ou iguais a "i".
>
> Vou dar um exemplo. IMAGINE as numeracoes das linhas e colunas
> conforme a descricao que dei acima
>
> EXEMPLO : Coeficientes de P7.
>
> 11000000000000000000000000000
> 00110000000000000000000000000
> 00011110000000000000000000000
> 00001111111000000000000000000
> 00000111111111100000000000000
> 00000011111111111111100000000
> 00000001111111111111111111111
>
> Somando as colunas teremos
> 11122344444333322222211111111
>
> Logo, o polinomio P7 sera :
>
> P7=1+X+(X^2)+2*(X^3)+2*(X^4)+3*(X^5)+4*(X^6)+4*(X^7)+4*(X^8)+4*(X^9)+4*(X^10)+3*(X^11)+
> 3*(X^12)+3*(X^13)+3*(X^14)+2*(X^15)+2*(X^16)+2*(X^17)+2*(X^18)+2*(X^19)+2*(X^20)+(X^21)+
> (X^22)+(X^23)+(X^24)+(X^25)+(X^26)+(X^27)+(X^28)
>
> So a titulo de exemplificacao, o coeficiente de X^15 e 2, vale dizer,
> so existem duas maneiras de particionar 15 em parcelas distintas e
> menores ou iguais a 7, a saber : 2+6+7 e 3+5+7.Veja tambem que este
> algoritmo que imaginei e muito simples e facilimo de ser implementado
> em qualquer boa linguagem de programacao. Como so usa substituicoes e
> adicoes, sera tambem eficiente. Assim, em termos operacionais, o
> problema combinatorio do Fernando Cores já esta resolvido.
>
> Nos porem somos orgulhosamente Matematicos ... Sim, Matematicos ! Para
> nos, em geral, os algoritmos são apenas escoras que nos devem levar a
> uma compreensao superior das coisas. Isto posto, considerando o
> algoritmo descrito acima, vamos buscar uma solucao completa e acabada
> da questao.
>
> Fixe o algoritmo em sua cabeca. Note agora para uma coluna L > 1
> qualquer, o primeiro 1 surge após um "boa" quantidade de zeros. Quem e
> essa quantidade de zeros que antecede o primeiro 1 ? E facil ver
> trata-se do maior K tal que (K*(K+1)) /2 < L. Se (K*(K+1))/2 >= L
> entao no polinomio Pk já surge o termo X^L, ou seja, já existe um
> numero 1 na linha K. Feito esta observação, o calculo exato e não
> operacional do coeficiente de X^L na sequencia de polinomio Pi segue
> facilmente, a saber :
>
>
> COEFICIENTE DE X^L NOS POLINOMIOS Pi
>
> Doravante, chamarei de C(L,i) o coeficiente de X^L no polinomio "i"
>
> 1 ) Seja K o maior inteiro k tal que [ k*(k+1) / 2 ] < L
> 2) Se i =< L faca C(L,i) = i – K, Se i > L faca C(L,i) = L – K
>
> EXEMPLO
>
> Qual o coeficiente de X^1007514 em P2007 ?
>
> 1) Maior inteiro K tal que ( K*(K+1) ) / 2 < 1007514
> Fazendo um calculo rapido achamos K = 1419.
>
> 2) Como 2007 < 1007514 fazemos C(1007517,2007) = 2007 – 1419 =  588
>
> Assim, o coeficiente de X^1007514 em P2007 e 588. em termos do
> problema combinatorio do Fernando Cores significa que existem 588
> maneiras de dividir o conjunto A={1,2,...,2007} em duas partes
> disjuntas B eC tais que a soma dos elementos de B seja igual a soma
> dos elementos de C.
>
>
> O CASO GERAL
>
> PROBLEMA : De quantas maneiras e possivel expressar o conjunto A = {1,
> 2, 3, ..., N }
> na forma A = B uniao C tal que :
>
> 1) B intersecao C = conjunto vazio
> 2) Soma dos Elementos de B = Soma dos Elementos de C
>
> Conforme já vimos na mensagem anterior, achamos L = (N*(N+1)) /4.
> Perguntamos entao "Qual o coeficiente de X^L em Pn ? ". Achamos entao
> o maior  inteiro positivo k tal que (k*(k+1))/2 < L . Seja K este
> valor. Se N < L fazemos C(L,N) = N – K. Se N >= L fazemos C(N,L) = L –
> K.
>
>
> OBSERVACOES FINAIS
>
> 1) E obvio ululante que voce pode pensar em dividir o conjunto A =
> {1,2,...,N} não em apenas dois conjunto disjuntos B e C com mesma soma
> de elementos. Voce pode aplicar esta mesma tecnica para 3, 4 ou mais
> conjuntos, desde de que a soma 1 + 2 + ... + N seja divisivel por 3, 4
> etc
>
> 2) Não achei necessario justificar que o ALGORITMO que descobri
> realmente calcula  os coeficientes de Pi porque ele me parece evidente
> em face da expressao da sequencia de polinomios Pi=Pi-1 + (X^i)*Pi-1 :
> ele e apenas uma maneira conveniente de registrar os calculos desta
> expressao.
>
> 3)  Se alguem desejar divulgar ou usar em outro paper este ALGORITMO
> ou as tecnicas aqui apresentadas não tem problemas . Basta citar que
> trata-se de uma producao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE
> PROBLEMAS DE MATEMATICA da PUC-RJ ( Lista de discussao de Matematica
> do Nicolau )
>
> 4) Qualquer erro aqui a culpa e toda minha. Não me milindra qualquer
> correcao que algum colega queira fazer. Mas lembre-se que não dispomos
> de muito tempo para fazer uma re-leitura ou/e correcoes : as ideias
> vao surgindo e nos vamos escrevendo
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 6,0A29,090B07
>
> Em 07/11/07, fccores<fccores@xxxxxxxxxx> escreveu:
>
> > Prezado Paulo Santa Rita,
> >
> >           Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do
> > problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos
> > favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este
> > que me levou a consultar várias fontes, inclusive "Introdução à análise
> > combinatória", do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca
> > de assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro.
> >          Estudei, inclusive um outro problema correlato:
> >
> >      "Determinar o coeficiente de x^k, 0=<k=<n, no desenvovimento de [1 +
> > ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x]."
> >
> >          Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira
> > explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava
> > (espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um
> > problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei
> > algumas outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele
> > coeficiente é uma potência de 2, estou trabalhando na prova.
> >
> >          Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem  e
> > parabenizo a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da
> > qual sou um leitor assíduo.
> >
> >                      Fernando Córes
> >
> >
> > > Ola Fernando e demais
> > > colegas desta lista ... OBM-L,
> > >
> > > Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio
> > > previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas
> > > podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em
> > > dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos
> > > elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular
> > > este enunciado.
> > >
> > > Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras
> > > distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde :
> > >
> > > 1) B intersecao C = Conjunto Vazio
> > > 2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C
> > >
> > > Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que
> > > a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028
> > > / 2 = 1007514. E e igualmente claro que para um determinando conjunto
> > > B com elementos oriundos de A e cuja soma destes elementos seja
> > > 1007514, o correspondente conjunto C que atende as exigencias 1) e 2)
> > > acima fica automaticamente determinado, C = A - B. Assim, precisamos
> > > nos preocupar apenas em determinar
> > >
> > > ( PRIMEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> > >
> > > ( ENUNCIADO1 ) Quantos conjuntos B podemos construir tais que os seus
> > > elementos sejam oriundos de A e que a soma destes elementos seja
> > > 1007514.
> > >
> > > Seja entao B = {b1, b2, b3, ..., bn } um destes conjuntos. Como
> > > 1007514 = b1+b2+...+bn e bi promana de A, vale dizer, bi e inteiro
> > > positivo, segue que "b1+b2+...+bn" e uma PARTICAO do numero 1007514.
> > > Ora, uma particao de um inteiro positivo N e uma soma de inteiros
> > > positivos, i1 + i2 + ... + in, distintos ou não, tais que N = i1 + i2
> > > + ... + in. Logo, os conjuntos B que estamos buscando são em verdade
> > > todas as particoes de 1007514 que atendam as seguintes restricoes :
> > >
> > > 1) As parcelas devem ser duas a duas distintas
> > > 2) Nenhuma parcela pode ser superior a 2007
> > >
> > > Esta ultima consideracao deixa claro que o que buscamos pode ser
> > > expresso assim :
> > >
> > > ( SEGUNDA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> > >
> > > ( ENUNCIADO2 ) Quantas particoes de 1007514 podemos construir tais que
> > > as parcelas de cada particao sejam duas a duas distintas e nenhuma
> > > delas seja superior a 2007.
> > >
> > > Vamos nos fixar aqui. A principio, definimos a sequencia de polinomios :
> > >
> > > P0 = 1
> > > Pi = ( 1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ...
> > >
> > > Analisando a sequencia acima, e facil ver que
> > >
> > > 1) Todo Pi tem termo independente e coeficiente lider iguais a 1
> > > 2) Todo Pi e um polinomio completo cujo grau e (i(1+i))/2
> > >
> > > Um fenomeno notavel - facilmente observavel e simples de explicar - e
> > > que, para todo "n", um monomio com parte literal X^n surgira pela
> > > primeira vez na sequencia de polinomios no polinomio Pi tal que "i"
> > > seja o menor inteiro positivo tal que (i*(1+i))/2 >= n. Isso
> > > claramente decorre do fato de Pi ser completo e de grau (i*(1+i)) / 2
> > > . E igualmente facil de ver que, após surgir, o coeficiente de X^n
> > > cresce ate atingir o seu valor maximo no polinomio Pn.
> > >
> > > Os coeficientes de X^n nos polinomios Pi onde ele aparece fornece
> > > informacoes importantes sobre as particoes de "n" em parcelas duas a
> > > duas distintas ... com efeito, dado que Pi = (1+ X )*(1 + (X^2) )*(1 +
> > > (X^3) )*...*(1+ (X^i) ), ao efetuar as multiplicacoes indicadas, um
> > > produto de ate "i" monomios da forma X^e, 1 =< e =< i, vai contribuir
> > > para a formacao final do coeficiente de X^n se a soma dos seus
> > > expoentes for "n", vale dizer, o coeficiente de X^n em Pi, i =< n, e
> > > igual ao numero de particoes de "n" em parcelas duas a duas distintas,
> > > todas menores que i+1. Por esta razao, o que estamos buscando pode ser
> > > expresso assim :
> > >
> > > ( TERCEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
> > >
> > > ( ENUNCIADO3 ) Qual e o coeficiente de X^1007514 em P2007 ?
> > >
> > > Assim, fica claro a ligacao deste problema com a Teoria das Particoes.
> > > Este tema da teoria dos numeros e bastante amplo e antigo, com belas
> > > contribuicoes de Euler, Ramanujam e outros. O livro abaixo, elementar
> > > e introdutorio, trata desse tema :
> > >
> > > Introducao a Teoria dos Numeros
> > > Colecao Matematica Universitaria - IMPA
> > > Autor
> > >
> > > Voce tambem pode ver isso aqui :
> > >
> > > http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf
> > >
> > > Um Abraco a Todos
> > > Paulo Santa Rita
> > > 4,0738,070A07
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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