[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: [obm-l] Seqüência recursiva
Vi a resolução do Nicolau e quero entender melhor o que foi feito,
esse tema de sequencias me agrada bastante, alguem tem alguma
indicação de texto sobre isso ? eu estou escrevendo um texto (ainda
não finalizado e com muitas temas a tratar e erros a corrigir) sobre
cálculo de diferenças finitas, mas ainda não comecei a tratar das
equações de diferenças, eu envio o texto para essa pasta do 4shared
http://www.4shared.com/dir/4007098/aa9c0552/renji.html , quando eu
atualizar denovo mando o link para lista =p.
Em 16/10/07, ralonso<ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx> escreveu:
> Olá Nehab:
> Dei uma olhada no documento, mas o "pulo do gato" é mesmo o uso
> de matrizes. Em relação a frações contínuas basta notar que
> lim (n--> oo) x_{n+1} = lim (n-->oo) x_n = x.
> Assim x = 4 - 3/x, ==> x^2 -4x + 3 = 0.
> x = 1 ou x=3. Agora
> precisa-se analisar a estabilidade nestes dois pontos. Um deles
> é um atrator. Note que resolver a equação
> é também uma forma de resolver alguns limites de forma
> mais simplificada.
> []s
>
>
> Carlos Nehab wrote:
> Oi, Alonso,
>
> Não sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me corrigirá)...
>
> O Nicolau já nos brindou há algum tempo com uma solução muito bonita e
> seguindo esta mesma linha de raciocícinio (usando matrizes) para resolver
> recorrências.
> (veja no final de
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).
>
> Quanto a sua pergunta, as "equações de diferenças" podem ser usadas mas acho
> "bala de canhão" para este particular exercício. Se você tiver alguma
> familiaridade com Frações Contínuas... Veja:
>
> A recorrência dada indica que x_n = 4 - 3 / (4 - 3 / (4 - 3/ .....))
> ,
>
> que é uma fração contínua onde se você escrever x_n = p_n/q_n (que é usual
> no estudo das frações contínuas e foi um dos truques usados pelo Nicolau),
> você obtém:
> p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n (1) e
> q_n+1 = p_n (2)
>
> Ai fica fácil (neste exercício, especialmente) resolver estas recorrências,
> mas não a original, que é feiosa. "Olhando" para x_n como p_n/q_n se
> eliminou a "deconfortável" parcela 1/x_n da recorrência original. Ou
> seja, as recorrências para p_n e q_n são banais.
>
> Se você substituir (2) em (1) o problema acabou... Você obtém p_n+1 =
> 4.p_n - 3.p_n-1, cuja solução é simples, e cujo polinômio característico
> coincide com o usado pelo Nicolau, embora com o "olhar" dele nas matrizes...
>
> O legal mesmo da solução do Nicolau (no meu entendimento - se eu estiver
> equivocado ele me corrigirá...) é ter este outro "olhar" do polinômio
> característico para os zilhões de exercícios que usam recorrência.
>
> Se quiser dê uma olhada em
> www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc você verá
> dezenas de relações de recorrências e seus truques... (mas sem o fecho do
> problema com matrizes).
>
> Abraços,
> Nehab
>
> Olá Nicolau.
>
> "Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."
>
> Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
> ao racional p/q. Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
> usando conceitos de equações de diferenças? Aparentemente
> daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
>
> x_n * x_{n+1} = 4 x_n - 3
>
> com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial do tipo
>
> y y' = 4 y - 3 .
>
>
>
> "Nicolau C. Saldanha" wrote:
> On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, hpsb@xxxxxxxxxxxxxx wrote:
> > Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades em
> > resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e n?
> >
> >
> >
> > Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1 > 3 e
> > x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.
>
> [Omitindo o resto do enunciado]
>
> Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
> mas como você pediu o termo geral aqui vai.
>
> Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
> Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
> Assim devemos calcular A^n.
> Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
> Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
> Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
> A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
> = (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
> Assim
> x_n =
> ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================