[obm-l] Convergencia de sequencia de polinomios

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Acho este problema interessante:

 

Seja P_n uma sequencia de polinomios complexos tal que que, para todo n, tenhamos grau(P_n) <= m, m constante. Suponhamos que existam complexos z_0, z_1, ...z_m, distintos 2 a 2, tais que P_n convirja em {z_0, z_1, ...z_m,}. Mostre que P_n converge em todo o plano complexo para um polinomio P, com grau(P) <= m, cujos coeficientes sao os limites das sequencias formadas pelos coeficientes de mesmo grau dos P_n (para cada k =0,1...m, o coeficiente de z^k em P eh o limite da sequencia formada pelos coeficientes de z^k nos P_n. A existencia destes limites eh conclusao, nao hipotese.).

 

Mostre que, em todo subconjunto limitado do plano complexo C, a convergencia de P_n para P eh uniforme.

 

Mostre ainda que, se P_n convergir em C para uma funcao f mas grau(P_n) for ilimitada, entao f nao tem que ser um polinomio.

 

Artur