Re: [obm-l] Convergencia de sequencia de polinomios

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá Artur,

Vamos dizer que P_n(x) = Sum{i=0 -> m} { a_in . x^i }
sabemos que existem z_0, z_1, ..., z_m distintos, tais que: lim P_n(z_k) < inf
Queremos mostrar que para todo eps>0, existe N, tal que n>N implica: | P_n(x) - P(x) | < eps, para todo x
onde P(x) = Sum{i=0 -> m} { A_i . x^i } , e, lim a_in = A_i.

| P_n(x) - P(x) | = | Sum {i=0 -> m} { (a_in - A_i) x^i } | <= Sum {i=0 -> m} | a_in - A_i | . |x|^i
mas, como lim a_in = A_i, para todo eps0 > 0, existe N0, tal que n>N0 implica | a_in - A_i | < eps0
portanto, para n>N0, temos que: | P_n(x) - P(x) | <= Sum{i=0 -> m}{ | a_in - A_i | . |x|^i } < Sum{i=0 -> m} { eps0 . |x|^i } < eps0 . Sum{i=0 ->m} { |x|^i }
fazendo eps = eps0 . Sum{i=0->m}{|x|^i}, temos que n > N0 implica | P_n(x) - P(x) | < eps para todo x
assim, P_n(x) converge para P(x)... conforme o enunciado...

ainda falta provarmos que lim a_in existe..
como temos z_0, z_1, ..., z_m, pensei no seguinte:
lim P_n(z_k) = b_k < inf ... Sum{i=0->m} {(lim a_in) . (z_k)^i} = b_k, para k=0, 1, ..., m
temos m+1 incognitas e m+1 equacoes... e o determinante da matriz de coeficientes é não nulo, pois temos uma matriz de Vandermont e z_0, z_1, ..., z_m são distintos... 
deste modo, lim a_in está determinado (é único)... logo converge...
a única coisa que não gostei nessa parte da demonstração é usar: lim( Sum{...}{ a_in . (z_k)^i ) = Sum{...}{ (lim a_in) (z_k)^i }...
fazendo isso já não estou supondo a convergencia?


Vamos pegar um conjunto limitado A contido em C.. entao existe R, tal que para todo z E A, temos: |z| < R
vamos aproveitar um trecho da demonstracao acima:
| P_n(x) - P(x) | < eps0 . Sum{i=0 ->m} { |x|^i }
usando que |x| < R, temos: | P_n(x) - P(x) | < eps0 . Sum{i=0->m}{ R^i } = eps... logo: eps independe de x e a convergencia é uniforme..


Não tive idéias para provar a última afirmação... como mostro que uma funcao qquer TEM que ser um polinomio?
pensei no fato da m-ésima derivada ser constante.. ou a (m+1)-ésima derivada ser nula..

todas as correções são bem vindas :)) hehe
abracos,
Salhab

On 10/16/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx> wrote:

Acho este problema interessante:

 

Seja P_n uma sequencia de polinomios complexos tal que que, para todo n, tenhamos grau(P_n) <= m, m constante. Suponhamos que existam complexos z_0, z_1, ...z_m, distintos 2 a 2, tais que P_n convirja em {z_0, z_1, ...z_m,}. Mostre que P_n converge em todo o plano complexo para um polinomio P, com grau(P) <= m, cujos coeficientes sao os limites das sequencias formadas pelos coeficientes de mesmo grau dos P_n (para cada k =0,1...m, o coeficiente de z^k em P eh o limite da sequencia formada pelos coeficientes de z^k nos P_n. A existencia destes limites eh conclusao, nao hipotese.).

 

Mostre que, em todo subconjunto limitado do plano complexo C, a convergencia de P_n para P eh uniforme.

 

Mostre ainda que, se P_n convergir em C para uma funcao f mas grau(P_n) for ilimitada, entao f nao tem que ser um polinomio.

 

Artur