Re: [obm-l] Seqüência recursiva

[Carlos Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Alonso,

Não sou o Nicolau, mas vou responder (qq coisa ele me corrigirá)...

O Nicolau já nos brindou há algum tempo com uma solução muito bonita e seguindo esta mesma linha de raciocícinio (usando matrizes) para resolver recorrências.
(veja no final de http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200706/msg00204.html).

Quanto a sua pergunta, as "equações de diferenças" podem ser usadas mas acho "bala de canhão" para este particular exercício.    Se você tiver alguma familiaridade com Frações Contínuas...  Veja:

A recorrência dada indica que  x_n =   4 -   3 / (4  -  3 / (4 -  3/ .....)) ,

que é uma fração contínua onde se você escrever  x_n = p_n/q_n  (que é usual no estudo das frações contínuas e foi um dos truques usados pelo Nicolau), você obtém:
p_n+1 = 4.p_n - 3.q_n   (1)   e   
q_n+1 = p_n                    (2)

Ai fica fácil (neste exercício, especialmente) resolver estas recorrências, mas não a original, que é feiosa.  "Olhando" para x_n como p_n/q_n se eliminou a "deconfortável" parcela   1/x_n da recorrência original.   Ou seja, as recorrências  para p_n e q_n são banais.

Se você substituir (2) em (1)  o problema acabou... Você obtém  p_n+1 = 4.p_n  - 3.p_n-1, cuja solução é simples, e cujo polinômio característico coincide com o usado pelo Nicolau, embora com o "olhar" dele nas matrizes...  

O legal mesmo da solução do Nicolau (no meu entendimento - se eu estiver equivocado ele me corrigirá...) é ter este outro "olhar" do polinômio característico para os zilhões de exercícios que usam recorrência.

Se quiser dê uma olhada em www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.doc você verá dezenas de relações de recorrências e seus truques... (mas sem o fecho do problema com matrizes).

Abraços,
Nehab

Olá Nicolau.

"Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q]."

Bastante criativa sua solução de associar o vertor (p,q)
ao racional p/q.   Existe alguma outra forma de fazer? Digamos
usando conceitos de equações de diferenças?  Aparentemente
daria para fazer uma analogia da equação de diferenças
 
 x_n *  x_{n+1} = 4 x_n - 3

com x_n diferente de zero, com uma equação diferencial do tipo

    y y' = 4 y - 3 .

 

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

On Mon, Oct 15, 2007 at 12:41:03AM -0300, hpsb@xxxxxxxxxxxxxx wrote:
> Achei esse problema em um livro de Análise e estou tendo dificuldades em
> resolvê-lo. É possível achar o termo geral em função de a_1 e n?
>
>
>
> Seja (x_n) uma seqüência definida indutivamente por x_1 > 3 e
> x_{n+1} = 4 - 3/x_n, n natural.

[Omitindo o resto do enunciado]

Não é necessário achar o termo geral para resolver o problema
mas como você pediu o termo geral aqui vai.

Considere a matriz 2x2 A = [[4,-3],[1,0]].
Se x_n = p/q então x_{n+1} = p'/q' onde [p',q'] = A [p,q].
Assim devemos calcular A^n.
Os autovalores de A são 1 e 3 com autovetores [3,1] e [1,1].
Sejam X = [[3,1],[1,1]] e X^(-1) = (1/2) [[1,-1],[-1,3]].
Temos X^(-1) A X = [[3,0],[0,1]] donde
A^n = X [[3^n,0],[0,1]] X^(-1) =
= (1/2) [[3^(n+1)-1,-3^(n+1)+3],[3^n-1,-3^n+3]].
Assim
x_n = ((3^(n+1)-1)x_0+(-3^(n+1)+3))/(2*((3^n-1)x_0+(-3^n+3))).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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